Номер 883, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

883. При любом n сумма n первых членов геометрической прогрессии $S_n = 4(3^n - 1)$. Найдите третий член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$), зная формулу суммы ее первых n членов ($S_n$), можно использовать соотношение, согласно которому n-й член прогрессии равен разности суммы n первых членов и суммы (n-1) первых членов.

Формула для n-го члена: $b_n = S_n - S_{n-1}$ (при $n > 1$).

В нашем случае, чтобы найти третий член прогрессии ($b_3$), мы должны из суммы трех первых членов ($S_3$) вычесть сумму двух первых членов ($S_2$):

$b_3 = S_3 - S_2$

Нам дана формула для суммы n первых членов: $S_n = 4(3^n - 1)$.

1. Найдем сумму трех первых членов ($S_3$), подставив $n=3$ в заданную формулу:

$S_3 = 4(3^3 - 1) = 4(27 - 1) = 4 \cdot 26 = 104$.

2. Найдем сумму двух первых членов ($S_2$), подставив $n=2$ в заданную формулу:

$S_2 = 4(3^2 - 1) = 4(9 - 1) = 4 \cdot 8 = 32$.

3. Теперь вычислим третий член прогрессии:

$b_3 = S_3 - S_2 = 104 - 32 = 72$.

Проверка (второй способ решения):

Найдем первый и второй члены прогрессии, а затем знаменатель, чтобы убедиться в правильности расчетов.

Первый член $b_1$ равен сумме первого члена $S_1$:

$b_1 = S_1 = 4(3^1 - 1) = 4(2) = 8$.

Второй член $b_2$ равен $S_2 - S_1$:

$b_2 = S_2 - S_1 = 32 - 8 = 24$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{8} = 3$.

Теперь найдем третий член по стандартной формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 72