Номер 877, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

877. Геометрическая прогрессия ($y_n$) задана формулой $n$-го члена $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

Для того чтобы найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии $(y_n)$, заданной формулой n-го члена $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$, необходимо сначала определить её первый член $y_1$ и знаменатель $q$. Затем можно использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1. Нахождение первого члена $y_1$ и знаменателя $q$.

Чтобы найти первый член прогрессии $y_1$, подставим $n=1$ в заданную формулу: $y_1 = \frac{(-2)^{1+1}}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти знаменатель $q$, вычислим второй член прогрессии $y_2$ (подставив $n=2$) и разделим его на первый член $y_1$: $y_2 = \frac{(-2)^{2+1}}{20} = \frac{(-2)^3}{20} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$.

Теперь находим знаменатель $q$: $q = \frac{y_2}{y_1} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{1}{5}} = -2$.

(Альтернативный способ: можно преобразовать исходную формулу к стандартному виду $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20} = \frac{(-2)^2 \cdot (-2)^{n-1}}{20} = \frac{4 \cdot (-2)^{n-1}}{20} = \frac{1}{5} \cdot (-2)^{n-1}$. Из этой формулы сразу видно, что $y_1 = \frac{1}{5}$ и $q = -2$.)

2. Вычисление суммы десяти первых членов $S_{10}$.

Теперь у нас есть все необходимые данные: $y_1 = \frac{1}{5}$, $q = -2$ и $n = 10$. Подставляем их в формулу суммы: $S_{10} = \frac{y_1(q^{10} - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{5}((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$.

Выполним вычисления по шагам: Сначала вычислим степень: $(-2)^{10} = 1024$. Затем подставим это значение в формулу: $S_{10} = \frac{\frac{1}{5}(1024 - 1)}{-3} = \frac{\frac{1}{5} \cdot 1023}{-3} = \frac{1023}{5 \cdot (-3)} = -\frac{1023}{15}$.

Сократим полученную дробь. Число 1023 делится на 3, так как сумма его цифр ($1+0+2+3=6$) делится на 3. $1023 \div 3 = 341$. Следовательно: $S_{10} = -\frac{341 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{341}{5}$.

Этот результат можно также представить в виде десятичной дроби: $-\frac{341}{5} = -68,2$.

Ответ: $-\frac{341}{5}$.