Номер 872, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

872. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:

1) 12, 72, 432, ...;

2) $\frac{1}{16}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$, ...

1)

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $12, 72, 432, ...$, воспользуемся формулой суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В данной прогрессии первый член $b_1 = 12$, а количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 5$.

Сначала определим знаменатель прогрессии q, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{72}{12} = 6$.

Теперь подставим все известные значения в формулу: $S_5 = \frac{12(6^5 - 1)}{6 - 1}$.

Произведем вычисления: $S_5 = \frac{12(7776 - 1)}{5} = \frac{12 \cdot 7775}{5}$.

Разделив 7775 на 5, получаем 1555. Тогда: $S_5 = 12 \cdot 1555 = 18660$.

Ответ: 18660.

2)

Для второй прогрессии $\frac{1}{16}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, ...$ также находим сумму первых пяти членов, используя ту же формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Здесь первый член $b_1 = \frac{1}{16}$, и $n = 5$.

Определим знаменатель прогрессии q: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/8}{1/16} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = -2$.

Подставим значения в формулу: $S_5 = \frac{\frac{1}{16}((-2)^5 - 1)}{-2 - 1}$.

Вычислим значение в скобках и знаменатель: $S_5 = \frac{\frac{1}{16}(-32 - 1)}{-3} = \frac{\frac{1}{16}(-33)}{-3}$.

Упростим полученное выражение: $S_5 = \frac{1}{16} \cdot \frac{-33}{-3} = \frac{1}{16} \cdot 11 = \frac{11}{16}$.

Ответ: $\frac{11}{16}$.