Номер 2, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Чему равна сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице?

Обозначим геометрическую прогрессию как $(b_n)$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, знаменатель прогрессии равен единице, то есть $q = 1$.

Общая формула для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Эта формула применима только при $q \neq 1$, так как в противном случае знаменатель дроби обращается в ноль, что недопустимо.

Рассмотрим случай, когда $q = 1$. Найдем несколько первых членов такой прогрессии, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 = b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot 1^1 = b_1$
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot 1^2 = b_1$
...
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot 1^{n-1} = b_1$

Таким образом, если знаменатель геометрической прогрессии равен единице, то все её члены равны первому члену $b_1$. Такая прогрессия является постоянной последовательностью.

Сумма $n$ первых членов этой прогрессии будет суммой $n$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $b_1$:
$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n = \underbrace{b_1 + b_1 + b_1 + \ldots + b_1}_{n \text{ слагаемых}}$

Следовательно, сумма равна произведению количества членов $n$ на значение первого члена $b_1$.
$S_n = n \cdot b_1$

Ответ: Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице, равна $n \cdot b_1$, где $b_1$ — первый член прогрессии.