Номер 868, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

868. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3} - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3}$

2) $\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3)$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = \sqrt{\sqrt{10}+9}$ и $b=3$:

$(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) = (\sqrt{\sqrt{10}+9})^2 - 3^2 = (\sqrt{10}+9) - 9 = \sqrt{10}$

Теперь преобразуем исходное выражение, приведя его к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3} - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3} = \frac{\sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - \sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)}{\sqrt{10}}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$\sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - \sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3) = \sqrt{10}[(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - (\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)] = \sqrt{10}[\sqrt{\sqrt{10}+9}+3 - \sqrt{\sqrt{10}+9}+3] = \sqrt{10} \cdot (3+3) = 6\sqrt{10}$

Подставим полученные значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 6$

В результате мы получили число 6, которое является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $6/1$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: 6.

2) Для доказательства того, что значение выражения является рациональным числом, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

Теперь приведем всё выражение к общему знаменателю:

$\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(2-\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{(2-\sqrt{5})^2 + (2+\sqrt{5})^2}{-1}$

Упростим числитель, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(2-\sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

$(2+\sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

Сложим полученные выражения в числителе:

$(9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) = 9 + 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 18$

Подставим значение числителя в итоговую дробь:

$\frac{18}{-1} = -18$

В результате мы получили число -18, которое является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $-18/1$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: -18.