Номер 861, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

861. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три искомых положительных числа, образующих арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Удобно представить члены арифметической прогрессии через средний член $a$ и разность $d$: $a-d$, $a$, $a+d$.

По условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:

$(a-d) + a + (a+d) = 21$

$3a = 21$

$a = 7$

Таким образом, среднее число равно 7, а три числа арифметической прогрессии можно записать как $7-d$, $7$ и $7+d$. По условию, все числа должны быть положительными, то есть $7-d > 0$, откуда $d < 7$.

Далее, к этим числам прибавляют соответственно 2, 3 и 9. Получаем новую последовательность чисел:

Первое число: $(7-d) + 2 = 9-d$

Второе число: $7 + 3 = 10$

Третье число: $(7+d) + 9 = 16+d$

Полученные числа $9-d$, $10$ и $16+d$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению соседних членов. Запишем это свойство в виде уравнения:

$10^2 = (9-d)(16+d)$

$100 = 144 + 9d - 16d - d^2$

$100 = 144 - 7d - d^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$d^2 + 7d - 44 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$d_2 = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Теперь рассмотрим оба случая.

1. Если $d=4$:

Исходные числа:

$a_1 = 7-4 = 3$

$a_2 = 7$

$a_3 = 7+4 = 11$

Числа 3, 7, 11. Все они положительные. Их сумма $3+7+11=21$. Проверим, образуют ли новые числа геометрическую прогрессию: $3+2=5$, $7+3=10$, $11+9=20$. Последовательность 5, 10, 20 является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Это решение удовлетворяет всем условиям.

2. Если $d=-11$:

Исходные числа:

$a_1 = 7 - (-11) = 18$

$a_2 = 7$

$a_3 = 7 + (-11) = -4$

Числа 18, 7, -4. В этом наборе есть отрицательное число, что противоречит условию задачи ("сумма трёх положительных чисел"). Следовательно, это значение $d$ не подходит.

Единственным решением является первый набор чисел.

Ответ: искомые числа – 3, 7, 11.