Номер 862, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

862. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения обозначим средний член прогрессии как $a$, а её разность как $d$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:
$a_1 = a - d$
$a_2 = a$
$a_3 = a + d$

По первому условию, сумма этих трёх чисел равна 30. Составим и решим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен 10. Теперь исходные числа можно представить как $10 - d$, $10$ и $10 + d$.

Далее, по второму условию, если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то новые числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию:
$b_1 = a_1 - 5 = (10 - d) - 5 = 5 - d$
$b_2 = a_2 - 4 = 10 - 4 = 6$
$b_3 = a_3 = 10 + d$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат её среднего члена равен произведению соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения в это равенство:
$6^2 = (5 - d)(10 + d)$
$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$
$36 = 50 - 5d - d^2$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$d^2 + 5d + 36 - 50 = 0$
$d^2 + 5d - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, которые в произведении дают -14, а в сумме +5. Это числа 7 и -2.
$(d + 7)(d - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = -7$ и $d_2 = 2$.

Мы получили два возможных значения для разности $d$, а значит, существует два набора искомых чисел.
1. При $d = 2$ исходные числа равны:
$a_1 = 10 - 2 = 8$, $a_2 = 10$, $a_3 = 10 + 2 = 12$.
Это набор чисел 8, 10, 12.
2. При $d = -7$ исходные числа равны:
$a_1 = 10 - (-7) = 17$, $a_2 = 10$, $a_3 = 10 + (-7) = 3$.
Это набор чисел 17, 10, 3.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 8, 10, 12 или 17, 10, 3.