Номер 860, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

860. Найдите геометрическую прогрессию, содержащую шесть членов, если сумма трёх первых её членов равна 168, а сумма трёх последних равна 21.

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Прогрессия состоит из шести членов: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$.

По условию задачи, сумма трёх первых членов равна 168. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 + b_2 + b_3 = 168$
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 168$
Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 168$ (1)

Также по условию, сумма трёх последних членов (четвёртого, пятого и шестого) равна 21:
$b_4 + b_5 + b_6 = 21$
Выразим эти члены через $b_1$ и $q$:
$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 21$
Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$:
$b_1q^3(1 + q + q^2) = 21$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 168 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 21 \end{cases}$
Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как левые части уравнений не равны нулю):
$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{21}{168}$
После сокращения получаем:
$q^3 = \frac{21}{168}$
Сократим дробь на 21:
$q^3 = \frac{1}{8}$
Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q$ в первое уравнение $b_1(1 + q + q^2) = 168$:
$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 168$
$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{7}{4}) = 168$
$b_1 = 168 \cdot \frac{4}{7}$
$b_1 = 24 \cdot 4 = 96$

Зная первый член $b_1=96$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$, мы можем найти все шесть членов геометрической прогрессии:
$b_1 = 96$
$b_2 = b_1 \cdot q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$
$b_3 = b_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$
$b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$
$b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
$b_6 = b_5 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: 96, 48, 24, 12, 6, 3.
Ответ: 96, 48, 24, 12, 6, 3.