Номер 863, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

863. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65. Если из первого из этих чисел вычесть 1, из третьего вычесть 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим их как $x$, $y$ и $z$.

По условию, эти числа образуют геометрическую прогрессию, следовательно, для них выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.
$y^2 = xz$

Также по условию, сумма этих трёх чисел равна 65:
$x + y + z = 65$

Далее, из первого числа вычитают 1, второе оставляют без изменений, а из третьего вычитают 19. Получаем новую последовательность чисел:
$(x-1)$, $y$, $(z-19)$

Эта новая последовательность образует арифметическую прогрессию. Для неё выполняется характеристическое свойство: средний член равен среднему арифметическому крайних членов.
$y = \frac{(x-1) + (z-19)}{2}$

Упростим это уравнение:
$2y = x - 1 + z - 19$
$2y = x + z - 20$
Отсюда можно выразить сумму $x+z$:
$x + z = 2y + 20$

Теперь у нас есть система уравнений:
1) $x + y + z = 65$
2) $x + z = 2y + 20$
3) $y^2 = xz$

Подставим выражение для $(x+z)$ из второго уравнения в первое:
$(2y + 20) + y = 65$
$3y + 20 = 65$
$3y = 45$
$y = 15$

Мы нашли второй член прогрессии. Теперь найдем $x$ и $z$. Подставим значение $y=15$ в первое и третье уравнения системы:
Из $x + y + z = 65$:
$x + 15 + z = 65 \implies x + z = 50$
Из $y^2 = xz$:
$15^2 = xz \implies xz = 225$

Теперь нам нужно найти два числа, $x$ и $z$, зная их сумму (50) и произведение (225). Согласно теореме Виета, эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+z)t + xz = 0$:
$t^2 - 50t + 225 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 2500 - 900 = 1600$
$\sqrt{D} = 40$

Корни уравнения:
$t_1 = \frac{50 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$t_2 = \frac{50 - 40}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, числа $x$ и $z$ равны 5 и 45.

Это дает нам два возможных набора исходных чисел, в зависимости от порядка:
1. Первая прогрессия: 5, 15, 45 (знаменатель прогрессии $q = 15/5 = 3$).
2. Вторая прогрессия: 45, 15, 5 (знаменатель прогрессии $q = 15/45 = 1/3$).

Проверим оба случая:
1. Для чисел 5, 15, 45: сумма $5+15+45=65$. Новые числа: $(5-1), 15, (45-19)$, то есть 4, 15, 26. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=11$. Условие выполняется.
2. Для чисел 45, 15, 5: сумма $45+15+5=65$. Новые числа: $(45-1), 15, (5-19)$, то есть 44, 15, -14. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-29$. Условие также выполняется.

Оба набора состоят из одних и тех же чисел.

Ответ: Искомые числа – 5, 15, 45.