Номер 857, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

857. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 1$, $x + 5$ и $x + 11$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

При каком значении x значения выражений 2x + 1, x + 5 и x + 11 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии $(b_n)$:
$b_1 = 2x + 1$
$b_2 = x + 5$
$b_3 = x + 11$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних (предыдущего и последующего) членов:$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные выражения и решим полученное уравнение:
$(x + 5)^2 = (2x + 1)(x + 11)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 22x + x + 11$
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 + 23x - 10x + 11 - 25 = 0$
$x^2 + 13x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 169 + 56 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: при $x = 1$ или $x = -14$.

Найдите члены этой прогрессии.

Теперь найдем члены прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 1$:
$b_1 = 2(1) + 1 = 3$
$b_2 = 1 + 5 = 6$
$b_3 = 1 + 11 = 12$
Получаем геометрическую прогрессию: 3, 6, 12 со знаменателем $q = 2$.

2. При $x = -14$:
$b_1 = 2(-14) + 1 = -28 + 1 = -27$
$b_2 = -14 + 5 = -9$
$b_3 = -14 + 11 = -3$
Получаем геометрическую прогрессию: -27, -9, -3 со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: если $x=1$, то члены прогрессии равны 3, 6, 12; если $x=-14$, то члены прогрессии равны -27, -9, -3.