Номер 851, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

851. Последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_1, b_3, \dots, b_{2n-1}$;

2) $2b_1, 2b_2, \dots, 2b_n$;

3) $b_1+b_2, b_2+b_3, \dots, b_{n-1}+b_n$;

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}$?

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

По условию, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Формула $n$-го члена прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для того чтобы определить, является ли новая последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение её $(k+1)$-го члена к $k$-му члену. Если это отношение является константой (не зависит от $k$), то последовательность является геометрической, и эта константа — её знаменатель.

1) $b_1, b_3, \dots, b_{2n-1}, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = b_{2n-1}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену. $(n+1)$-й член последовательности $(c_n)$ это $c_{n+1} = b_{2(n+1)-1} = b_{2n+1}$. Найдём отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}}$ Используя формулу $n$-го члена исходной прогрессии, получаем: $b_{2n+1} = b_1 \cdot q^{(2n+1)-1} = b_1 \cdot q^{2n}$ $b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{(2n-1)-1} = b_1 \cdot q^{2n-2}$ Тогда их отношение равно: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n}}{b_1 \cdot q^{2n-2}} = q^{2n - (2n-2)} = q^2$. Так как отношение соседних членов постоянно и равно $q^2$, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $2b_1, 2b_2, \dots, 2b_n, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = 2b_n$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{2b_{n+1}}{2b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Следовательно, отношение соседних членов новой последовательности постоянно и равно $q$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

3) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, \dots, b_{n-1} + b_n, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = b_n + b_{n+1}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену. $(n+1)$-й член последовательности $(c_n)$ это $c_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2}$. Найдём отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ (при условии, что $c_n \neq 0$): $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}}$ Используя свойство $b_{k+1} = b_k \cdot q$, выразим члены через $b_n$ и $b_{n+1}$: $b_{n+2} = b_{n+1} \cdot q$ $b_{n+1} = b_n \cdot q$ Подставим в дробь: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+1} \cdot q}{b_n + b_n \cdot q} = \frac{b_{n+1}(1+q)}{b_n(1+q)}$ Если $q \neq -1$, то можно сократить на $(1+q)$: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Отношение постоянно и равно $q$. Если $q = -1$, то все члены последовательности $c_n$ равны $b_n + b_{n+1} = b_n - b_n = 0$, и последовательность $0, 0, 0, \dots$ также является геометрической прогрессией (знаменатель может быть любым числом, но часто в таких случаях его также принимают равным $q$).
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = \frac{1}{b_n}$. Это возможно, если все $b_n \neq 0$, что выполняется, если $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}}$. Мы знаем, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Следовательно, $\frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$. Отношение соседних членов постоянно и равно $\frac{1}{q}$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{q}$.