Номер 847, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

847. Третий член геометрической прогрессии равен 3. Найдите произведение пяти первых членов этой прогрессии.

Пусть $\{b_n\}$ — данная геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи, третий член прогрессии равен 3, то есть $b_3 = 3$.

Нам необходимо найти произведение первых пяти членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_5$:
$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы n-го члена

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Выразим каждый из первых пяти членов через $b_1$ и $q$:
$b_1 = b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P_5$:
$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4)$

Сгруппируем множители $b_1$ и степени $q$:
$P_5 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot q^3 \cdot q^4) = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4} = b_1^5 \cdot q^{10}$

Преобразуем полученное выражение, используя свойства степеней:
$P_5 = b_1^5 \cdot (q^2)^5 = (b_1 q^2)^5$

Мы знаем, что $b_3 = b_1 q^2$ и по условию $b_3=3$. Подставив это значение, получаем:
$P_5 = (b_3)^5 = 3^5 = 243$.

Способ 2: Использование свойства среднего члена

Для конечного набора членов геометрической прогрессии существует свойство: произведение членов, равноудаленных от середины, равно квадрату среднего члена (если количество членов нечетное). В нашем случае средним членом из первых пяти является $b_3$.

Перегруппируем множители в произведении $P_5$:
$P_5 = (b_1 \cdot b_5) \cdot (b_2 \cdot b_4) \cdot b_3$

Согласно свойству, $b_1 \cdot b_5 = b_3^2$ и $b_2 \cdot b_4 = b_3^2$.
Докажем это:
$b_1 \cdot b_5 = b_1 \cdot (b_1 q^4) = b_1^2 q^4 = (b_1 q^2)^2 = b_3^2$
$b_2 \cdot b_4 = (b_1 q) \cdot (b_1 q^3) = b_1^2 q^4 = (b_1 q^2)^2 = b_3^2$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $P_5$:
$P_5 = (b_3^2) \cdot (b_3^2) \cdot b_3 = b_3^{2+2+1} = b_3^5$

Так как по условию $b_3 = 3$, получаем:
$P_5 = 3^5 = 243$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 243