Номер 854, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

854. Между числами 6 и 486 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

По условию задачи, нам нужно вставить три числа между 6 и 486 так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Обозначим эту прогрессию как $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

После вставки трех чисел, число 486 станет пятым членом прогрессии. Таким образом, $b_5 = 486$.

Общее количество членов в этой прогрессии $n = 5$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения в формулу для пятого члена:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$486 = 6 \cdot q^4$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:

$q^4 = \frac{486}{6}$

$q^4 = 81$

Это уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная:

$q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$

$q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Следовательно, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: q = 3

Найдем искомые три числа, которые являются вторым, третьим и четвертым членами прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$

$b_4 = b_3 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162$

Получаем прогрессию: 6, 18, 54, 162, 486.

Случай 2: q = -3

Найдем искомые три числа для этого знаменателя:

$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-18) \cdot (-3) = 54$

$b_4 = b_3 \cdot q = 54 \cdot (-3) = -162$

Получаем прогрессию: 6, -18, 54, -162, 486.

Ответ: Существуют два набора таких чисел: 18, 54, 162 и -18, 54, -162.