Номер 848, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

848. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноудалённых от её концов, равно произведению крайних членов.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $(b_n)$, состоящая из $m$ членов: $b_1, b_2, \dots, b_m$. Первый член прогрессии — $b_1$, а знаменатель прогрессии — $q$.

Формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Крайними членами данной прогрессии являются первый член $b_1$ и последний член $b_m$. Их произведение равно: $b_1 \cdot b_m = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{m-1}) = b_1^2 \cdot q^{m-1}$.

Теперь рассмотрим члены, равноудалённые от её концов. Пусть это будет $k$-й член с начала и $k$-й член с конца прогрессии, где $k$ — натуральное число, и $1 \le k \le m$.

$k$-й член с начала — это $b_k$.

$k$-й член с конца имеет порядковый номер $m - k + 1$. Следовательно, это член $b_{m-k+1}$.

Используя формулу $n$-го члена, запишем выражения для этих членов: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$ $b_{m-k+1} = b_1 \cdot q^{(m-k+1)-1} = b_1 \cdot q^{m-k}$

Найдем произведение этих двух членов: $b_k \cdot b_{m-k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{m-k}) = b_1^2 \cdot q^{k-1 + m-k} = b_1^2 \cdot q^{m-1}$.

Сравнивая произведение членов, равноудалённых от концов ($b_k \cdot b_{m-k+1}$), с произведением крайних членов ($b_1 \cdot b_m$), мы видим, что они равны: $b_k \cdot b_{m-k+1} = b_1^2 \cdot q^{m-1}$ $b_1 \cdot b_m = b_1^2 \cdot q^{m-1}$

Таким образом, $b_k \cdot b_{m-k+1} = b_1 \cdot b_m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.