Номер 845, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

845. При каком значении переменной $y$ числа $-1$, $2y$ и $-8$ будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух крайних. Это является характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии: $b_1 = -1$, $b_2 = 2y$ и $b_3 = -8$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные значения в эту формулу:

$(2y)^2 = (-1) \cdot (-8)$

Решим полученное уравнение:

$4y^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y^2 = \frac{8}{4}$

$y^2 = 2$

Из этого уравнения находим возможные значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{2}$

$y_2 = -\sqrt{2}$

Проверим оба значения:

1. Если $y = \sqrt{2}$, то последовательность чисел будет: $-1$, $2\sqrt{2}$, $-8$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{2\sqrt{2}}{-1} = -2\sqrt{2}$
$q = \frac{-8}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$
Знаменатель одинаковый, следовательно, $y = \sqrt{2}$ является решением.

2. Если $y = -\sqrt{2}$, то последовательность чисел будет: $-1$, $2(-\sqrt{2})$, $-8$, то есть $-1$, $-2\sqrt{2}$, $-8$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-2\sqrt{2}}{-1} = 2\sqrt{2}$
$q = \frac{-8}{-2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
Знаменатель одинаковый, следовательно, $y = -\sqrt{2}$ также является решением.

Таким образом, существуют два значения переменной $y$, при которых данные числа образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$.