Номер 843, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

843. Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией. Найдите:

1) $b_5$, если $b_4 = 9$, $b_6 = 25$;

2) $b_{20}$, если $b_{19} = -3$, $b_{21} = -12$;

3) $b_{17}$, если $b_{16} = 2$, $b_{18} = 10$.

1) Для геометрической прогрессии $(b_n)$ квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
Для нахождения $b_5$, зная $b_4$ и $b_6$, применим это свойство при $n=5$:
$b_5^2 = b_4 \cdot b_6$
Подставим известные значения $b_4 = 9$ и $b_6 = 25$:
$b_5^2 = 9 \cdot 25 = 225$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $b_5$:
$b_5 = \pm\sqrt{225} = \pm 15$
Оба решения верны, так как они соответствуют двум возможным знаменателям прогрессии: $q = 5/3$ (для $b_5=15$) и $q = -5/3$ (для $b_5=-15$).
Ответ: $15$ или $-15$.

2) Аналогично первому пункту, для нахождения $b_{20}$ используем его соседние члены $b_{19}$ и $b_{21}$ и то же свойство геометрической прогрессии.
$b_{20}^2 = b_{19} \cdot b_{21}$
Подставим данные значения $b_{19} = -3$ и $b_{21} = -12$:
$b_{20}^2 = (-3) \cdot (-12) = 36$
Извлекаем квадратный корень и получаем два возможных значения для $b_{20}$:
$b_{20} = \pm\sqrt{36} = \pm 6$
Эти два решения соответствуют знаменателям $q=2$ (для $b_{20}=-6$) и $q=-2$ (для $b_{20}=6$).
Ответ: $6$ или $-6$.

3) Для нахождения $b_{17}$ по известным $b_{16}$ и $b_{18}$ снова применим свойство среднего геометрического.
$b_{17}^2 = b_{16} \cdot b_{18}$
Подставим известные значения $b_{16} = 2$ и $b_{18} = 10$:
$b_{17}^2 = 2 \cdot 10 = 20$
Извлекая корень, находим $b_{17}$:
$b_{17} = \pm\sqrt{20}$
Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, $b_{17} = \pm 2\sqrt{5}$.
Эти решения соответствуют знаменателям прогрессии $q=\sqrt{5}$ и $q=-\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$ или $-2\sqrt{5}$.