Номер 837, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

837. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... .

Найдите номер этого члена.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — её первый член, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

Дана геометрическая прогрессия, начинающаяся с чисел 2, 6, 18, ...

1. Определение параметров прогрессии
Первый член прогрессии, исходя из последовательности, равен: $b_1 = 2$.
Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый предыдущий член для получения следующего. Найдем его, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Составление и решение уравнения
По условию, нам нужно найти номер члена, который равен 486. Это значит, что $b_n = 486$. Подставим известные значения $b_1 = 2$, $q = 3$ и $b_n = 486$ в формулу n-го члена: $486 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала разделим обе части уравнения на 2: $\frac{486}{2} = 3^{n-1}$ $243 = 3^{n-1}$

Чтобы найти $n-1$, представим число 243 как степень с основанием 3. $3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
Таким образом, $243 = 3^5$.

Теперь уравнение выглядит так: $3^5 = 3^{n-1}$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $5 = n - 1$

Отсюда находим $n$: $n = 5 + 1$ $n = 6$

Таким образом, число 486 является шестым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 6