Номер 835, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

835. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если.

1) $b_1 = \frac{1}{2}, b_8 = 64;$

2) $b_6 = 75, b_8 = 27.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии. Также можно использовать более общую формулу, связывающую два любых члена прогрессии: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

1)

Дано: $b_1 = \frac{1}{2}$ и $b_8 = 64$.

Используем формулу n-го члена для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

Подставим известные значения в формулу:

$64 = \frac{1}{2} \cdot q^7$

Чтобы найти $q^7$, умножим обе части уравнения на 2:

$64 \cdot 2 = q^7$

$128 = q^7$

Теперь необходимо найти число $q$, седьмая степень которого равна 128. Так как $2^7 = 128$, получаем:

$q^7 = 2^7$

Отсюда следует, что $q = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано: $b_6 = 75$ и $b_8 = 27$.

Воспользуемся формулой, связывающей два члена прогрессии, где $m=8$ и $k=6$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6}$

$b_8 = b_6 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$27 = 75 \cdot q^2$

Выразим $q^2$ из этого уравнения:

$q^2 = \frac{27}{75}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$q^2 = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}$

Теперь найдем $q$, извлекая квадратный корень из обеих частей. Следует учесть, что у уравнения есть два решения — положительное и отрицательное:

$q = \pm\sqrt{\frac{9}{25}}$

$q = \pm\frac{3}{5}$

Таким образом, знаменатель прогрессии может быть равен $\frac{3}{5}$ или $-\frac{3}{5}$.

Ответ: $\pm\frac{3}{5}$.