Страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

824. Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_1 = 0,2$, а знаменатель прогрессии $q = -5$.

Чтобы найти члены геометрической прогрессии, воспользуемся рекуррентной формулой $x_{n+1} = x_n \cdot q$, где $x_n$ — текущий член прогрессии, $x_{n+1}$ — следующий член, а $q$ — знаменатель прогрессии.
По условию задачи, первый член прогрессии $x_1 = 0,2$, а знаменатель $q = -5$.

Вычислим последовательно первые четыре члена прогрессии:
1. Первый член нам известен:
$x_1 = 0,2$

2. Второй член равен первому, умноженному на знаменатель:
$x_2 = x_1 \cdot q = 0,2 \cdot (-5) = -1$

3. Третий член равен второму, умноженному на знаменатель:
$x_3 = x_2 \cdot q = (-1) \cdot (-5) = 5$

4. Четвертый член равен третьему, умноженному на знаменатель:
$x_4 = x_3 \cdot q = 5 \cdot (-5) = -25$

Таким образом, первые четыре члена геометрической прогрессии — это 0,2; -1; 5; -25.
Ответ: 0,2; -1; 5; -25.

825. Первый член геометрической прогрессии равен $- \frac{1}{27}$, а знаменатель равен 3. Найдите пять первых членов прогрессии.

По условию задачи, первый член геометрической прогрессии $(b_n)$ равен $b_1 = -\frac{1}{27}$, а ее знаменатель равен $q = 3$.

Чтобы найти последующие члены прогрессии, будем использовать рекуррентную формулу, по которой каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Найдем последовательно первые пять членов прогрессии.

Первый член прогрессии нам уже известен:
$b_1 = -\frac{1}{27}$

Второй член прогрессии равен:
$b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{1}{27} \cdot 3 = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$

Третий член прогрессии равен:
$b_3 = b_2 \cdot q = -\frac{1}{9} \cdot 3 = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$

Четвертый член прогрессии равен:
$b_4 = b_3 \cdot q = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$

Пятый член прогрессии равен:
$b_5 = b_4 \cdot q = -1 \cdot 3 = -3$

Таким образом, искомые пять первых членов прогрессии это последовательность чисел: $-\frac{1}{27}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{3}, -1, -3$.

Ответ: $-\frac{1}{27}; -\frac{1}{9}; -\frac{1}{3}; -1; -3$.

826. В геометрической прогрессии ($y_n$) первый член $y_1 = 64$, а знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Найдите:

1) $y_3$;

2) $y_6$;

3) $y_{10}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии $(y_n)$: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи, нам даны $y_1 = 64$ и $q = -\frac{1}{2}$.

1) $y_3$;

Для нахождения третьего члена прогрессии ($n=3$) подставим значения в формулу:

$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$

Выполним вычисления:

$y_3 = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16$

Ответ: 16

2) $y_6$;

Для нахождения шестого члена прогрессии ($n=6$) подставим значения в формулу:

$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5$

Выполним вычисления:

$y_6 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -2$

Ответ: -2

3) $y_{10}$.

Для нахождения десятого члена прогрессии ($n=10$) подставим значения в формулу:

$y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1} = y_1 \cdot q^9 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^9$

Для удобства вычислений представим $64$ как $2^6$:

$y_{10} = 2^6 \cdot \left(-\frac{1}{2^9}\right) = -\frac{2^6}{2^9} = -\frac{1}{2^{9-6}} = -\frac{1}{2^3} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

827. В геометрической прогрессии ($c_n$) первый член $c_1 = 9$, а знаменатель $q = -1$. Найдите:

1) $c_{21}$;

2) $c_{50}$.

В данной задаче мы имеем дело с геометрической прогрессией $(c_n)$, у которой известен первый член $c_1 = 9$ и знаменатель $q = -1$. Для нахождения любого члена геометрической прогрессии используется формула: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$.

1) $c_{21}$;

Для нахождения двадцать первого члена прогрессии ($c_{21}$) подставим в формулу $n = 21$, $c_1 = 9$ и $q = -1$:
$c_{21} = c_1 \cdot q^{21-1} = 9 \cdot (-1)^{20}$.
Поскольку степень 20 является четным числом, любое отрицательное число в четной степени становится положительным. Таким образом, $(-1)^{20} = 1$.
$c_{21} = 9 \cdot 1 = 9$.

Ответ: 9

2) $c_{50}$.

Для нахождения пятидесятого члена прогрессии ($c_{50}$) подставим в формулу $n = 50$, $c_1 = 9$ и $q = -1$:
$c_{50} = c_1 \cdot q^{50-1} = 9 \cdot (-1)^{49}$.
Поскольку степень 49 является нечетным числом, отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным. Таким образом, $(-1)^{49} = -1$.
$c_{50} = 9 \cdot (-1) = -9$.

Ответ: -9

828. Первый член геометрической прогрессии $b_1 = \frac{1}{125}$, а её знаменатель $q = 5$. Найдите:

1) $b_4$;

2) $b_7$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию дано: $b_1 = \frac{1}{125}$ и $q = 5$.

1) $b_4$

Чтобы найти четвертый член прогрессии, подставим в формулу $n = 4$ и известные значения $b_1$ и $q$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

$b_4 = \frac{1}{125} \cdot 5^3$

Так как $125$ это $5^3$, то получаем:

$b_4 = \frac{1}{5^3} \cdot 5^3 = 1$

Ответ: 1

2) $b_7$

Для нахождения седьмого члена прогрессии подставим в формулу $n = 7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Подставим известные значения:

$b_7 = \frac{1}{125} \cdot 5^6$

Упростим выражение, зная, что $125 = 5^3$:

$b_7 = \frac{1}{5^3} \cdot 5^6 = 5^{6-3} = 5^3 = 125$

Ответ: 125

829. Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии

$\frac{1}{216}$, $\frac{1}{36}$, $\frac{1}{6}$, ...

Дана геометрическая прогрессия $ (b_n) $, у которой известны первые три члена: $ b_1 = \frac{1}{216} $, $ b_2 = \frac{1}{36} $, $ b_3 = \frac{1}{6} $.

знаменатель

Знаменатель геометрической прогрессии $ q $ находится как отношение последующего члена к предыдущему по формуле $ q = \frac{b_{n+1}}{b_n} $. Найдем знаменатель, используя второй и первый члены прогрессии:

$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/36}{1/216} = \frac{1}{36} \cdot \frac{216}{1} = \frac{216}{36} $

Так как $ 216 = 6 \cdot 36 $, то:

$ q = 6 $

Проверим результат, используя третий и второй члены:

$ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/6}{1/36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{1} = \frac{36}{6} = 6 $

Знаменатель прогрессии действительно равен 6.

Ответ: 6

пятый член

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} $.

Чтобы найти пятый член прогрессии ($ b_5 $), подставим в формулу известные значения: $ b_1 = \frac{1}{216} $, $ q = 6 $ и $ n = 5 $.

$ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 $

$ b_5 = \frac{1}{216} \cdot 6^4 $

Учитывая, что $ 216 = 6^3 $, получаем:

$ b_5 = \frac{1}{6^3} \cdot 6^4 = \frac{6^4}{6^3} = 6^{4-3} = 6^1 = 6 $

Пятый член прогрессии равен 6.

Ответ: 6

830. Найдите знаменатель и шестой член геометрической прогрессии $18, 12, 8, \dots$.

Дана геометрическая прогрессия, первыми членами которой являются числа 18, 12, 8. Обозначим эту прогрессию как $(b_n)$, где первый член $b_1 = 18$, второй член $b_2 = 12$ и третий член $b_3 = 8$.

Знаменатель геометрической прогрессии, обозначаемый как $q$, представляет собой постоянное отношение любого члена прогрессии к предыдущему. Для его нахождения можно разделить второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{18}$

Сократив эту дробь на 6, получаем:

$q = \frac{2}{3}$

Для уверенности можно проверить это значение, разделив третий член на второй:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Поскольку отношения равны, знаменатель прогрессии найден верно.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{2}{3}$.

Для нахождения любого члена геометрической прогрессии используется формула $n$-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Чтобы найти шестой член ($b_6$), мы подставим в формулу известные нам значения: $n=6$, $b_1=18$ и $q=\frac{2}{3}$.

$b_6 = 18 \cdot (\frac{2}{3})^{6-1} = 18 \cdot (\frac{2}{3})^5$

Вычислим значение выражения:

$b_6 = 18 \cdot \frac{2^5}{3^5} = 18 \cdot \frac{32}{243}$

Теперь выполним умножение и сократим полученную дробь. Числитель $18$ и знаменатель $243$ делятся на 9.

$b_6 = \frac{18 \cdot 32}{243} = \frac{(2 \cdot 9) \cdot 32}{27 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 32}{27} = \frac{64}{27}$

Данную неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $2\frac{10}{27}$.

Ответ: шестой член прогрессии равен $\frac{64}{27}$.

831. Докажите, что если последовательность $(x_n)$ – геометрическая прогрессия, то $x_3 x_{13} = x_5 x_{11}$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии. Пусть $(x_n)$ — геометрическая прогрессия, где $x_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. Тогда любой член этой прогрессии можно выразить по формуле: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

Необходимо доказать, что $x_3 \cdot x_{13} = x_5 \cdot x_{11}$. Для этого преобразуем левую и правую части этого равенства, используя формулу n-го члена.

Левая часть равенства:

Сначала выразим члены $x_3$ и $x_{13}$:
$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2$
$x_{13} = x_1 \cdot q^{13-1} = x_1 \cdot q^{12}$

Теперь найдем их произведение:
$x_3 \cdot x_{13} = (x_1 \cdot q^2) \cdot (x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}$.

Правая часть равенства:

Выразим члены $x_5$ и $x_{11}$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$x_{11} = x_1 \cdot q^{11-1} = x_1 \cdot q^{10}$

Найдем их произведение:
$x_5 \cdot x_{11} = (x_1 \cdot q^4) \cdot (x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}$.

Заключение:

Мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $x_1^2 \cdot q^{14}$. Таким образом, мы доказали, что $x_3 \cdot x_{13} = x_5 \cdot x_{11}$.

Данное свойство является частным случаем более общего свойства членов геометрической прогрессии: если для натуральных чисел $k, l, m, p$ выполняется равенство $k+l=m+p$, то и $x_k \cdot x_l = x_m \cdot x_p$. В нашем случае $3+13=16$ и $5+11=16$.

Ответ: Равенство доказано. После выражения всех членов прогрессии через первый член $x_1$ и знаменатель $q$ было показано, что обе части равенства, левая ($x_3 \cdot x_{13}$) и правая ($x_5 \cdot x_{11}$), равны одному и тому же выражению $x_1^2 \cdot q^{14}$.

832. Докажите, что если последовательность $(y_n)$ – геометрическая прогрессия, то $y_4y_{21}=y_8y_{17}$

По определению, последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа $n$ её член может быть вычислен по формуле: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$ где $y_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы доказать равенство $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$, мы выразим каждую из его частей через $y_1$ и $q$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для этого выразим члены $y_4$ и $y_{21}$: $y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 q^3$
$y_{21} = y_1 \cdot q^{21-1} = y_1 q^{20}$

Теперь найдём их произведение: $y_4 \cdot y_{21} = (y_1 q^3) \cdot (y_1 q^{20}) = y_1^2 \cdot q^{3+20} = y_1^2 q^{23}$

Далее преобразуем правую часть равенства. Для этого выразим члены $y_8$ и $y_{17}$: $y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 q^7$
$y_{17} = y_1 \cdot q^{17-1} = y_1 q^{16}$

Найдём их произведение: $y_8 \cdot y_{17} = (y_1 q^7) \cdot (y_1 q^{16}) = y_1^2 \cdot q^{7+16} = y_1^2 q^{23}$

Сравнивая результаты, мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $y_4 y_{21} = y_1^2 q^{23}$
$y_8 y_{17} = y_1^2 q^{23}$

Следовательно, $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$, что и требовалось доказать.

Замечание: Это является частным случаем общего свойства геометрической прогрессии: если для натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то выполняется и равенство $y_k \cdot y_l = y_m \cdot y_n$. В нашей задаче суммы индексов равны: $4+21 = 25$ и $8+17=25$.

Ответ: Равенство $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$ доказано.

833. Выразите члены $b_8$, $b_{13}$ и $b_{60}$ геометрической прогрессии $(b_n)$ через $b_7$ и знаменатель $q$.

Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой для n-го члена геометрической прогрессии. Стандартная формула выражает n-й член через первый член $b_1$ и знаменатель $q$: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Однако нам нужно выразить члены прогрессии через $b_7$. Для этого выведем более общую формулу, связывающую два любых члена прогрессии, $b_n$ и $b_k$.

Мы знаем, что $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{b_n}{b_k} = \frac{b_1 \cdot q^{n-1}}{b_1 \cdot q^{k-1}} = q^{(n-1)-(k-1)} = q^{n-k}$

Отсюда получаем формулу для $b_n$ через $b_k$: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.

В нашей задаче $k=7$, поэтому мы будем использовать формулу $b_n = b_7 \cdot q^{n-7}$. Теперь применим ее для каждого из указанных членов.

$b_8$
Чтобы выразить $b_8$, подставим $n=8$ в нашу формулу: $b_8 = b_7 \cdot q^{8-7} = b_7 \cdot q^1 = b_7 \cdot q$
Ответ: $b_8 = b_7 \cdot q$

$b_{13}$
Чтобы выразить $b_{13}$, подставим $n=13$ в нашу формулу: $b_{13} = b_7 \cdot q^{13-7} = b_7 \cdot q^6$
Ответ: $b_{13} = b_7 \cdot q^6$

$b_{60}$
Чтобы выразить $b_{60}$, подставим $n=60$ в нашу формулу: $b_{60} = b_7 \cdot q^{60-7} = b_7 \cdot q^{53}$
Ответ: $b_{60} = b_7 \cdot q^{53}$

834. Выразите члены $c_{18}$, $c_{36}$ и $c_{50}$ геометрической прогрессии $(c_n)$ через $c_{12}$ и знаменатель $q$.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей любой n-й член геометрической прогрессии $(c_n)$ с ее k-м членом: $c_n = c_k \cdot q^{n-k}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

В данном случае нам известен член $c_{12}$ (то есть $k=12$) и знаменатель $q$. Мы должны выразить через них члены $c_{18}$, $c_{36}$ и $c_{50}$. Подставив $k=12$ в общую формулу, получаем рабочую формулу для нашей задачи:

$c_n = c_{12} \cdot q^{n-12}$

Теперь последовательно найдем выражения для каждого члена.

$c_{18}$
Чтобы выразить член $c_{18}$ через $c_{12}$, подставим в рабочую формулу $n=18$:
$c_{18} = c_{12} \cdot q^{18-12}$
$c_{18} = c_{12} \cdot q^{6}$
Ответ: $c_{18} = c_{12}q^{6}$.

$c_{36}$
Чтобы выразить член $c_{36}$ через $c_{12}$, подставим в рабочую формулу $n=36$:
$c_{36} = c_{12} \cdot q^{36-12}$
$c_{36} = c_{12} \cdot q^{24}$
Ответ: $c_{36} = c_{12}q^{24}$.

$c_{50}$
Чтобы выразить член $c_{50}$ через $c_{12}$, подставим в рабочую формулу $n=50$:
$c_{50} = c_{12} \cdot q^{50-12}$
$c_{50} = c_{12} \cdot q^{38}$
Ответ: $c_{50} = c_{12}q^{38}$.

835. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если.

1) $b_1 = \frac{1}{2}, b_8 = 64;$

2) $b_6 = 75, b_8 = 27.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии. Также можно использовать более общую формулу, связывающую два любых члена прогрессии: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

1)

Дано: $b_1 = \frac{1}{2}$ и $b_8 = 64$.

Используем формулу n-го члена для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

Подставим известные значения в формулу:

$64 = \frac{1}{2} \cdot q^7$

Чтобы найти $q^7$, умножим обе части уравнения на 2:

$64 \cdot 2 = q^7$

$128 = q^7$

Теперь необходимо найти число $q$, седьмая степень которого равна 128. Так как $2^7 = 128$, получаем:

$q^7 = 2^7$

Отсюда следует, что $q = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано: $b_6 = 75$ и $b_8 = 27$.

Воспользуемся формулой, связывающей два члена прогрессии, где $m=8$ и $k=6$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6}$

$b_8 = b_6 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$27 = 75 \cdot q^2$

Выразим $q^2$ из этого уравнения:

$q^2 = \frac{27}{75}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$q^2 = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}$

Теперь найдем $q$, извлекая квадратный корень из обеих частей. Следует учесть, что у уравнения есть два решения — положительное и отрицательное:

$q = \pm\sqrt{\frac{9}{25}}$

$q = \pm\frac{3}{5}$

Таким образом, знаменатель прогрессии может быть равен $\frac{3}{5}$ или $-\frac{3}{5}$.

Ответ: $\pm\frac{3}{5}$.

836. Найдите первый член геометрической прогрессии $(c_n)$, если:

1) $c_4 = \frac{1}{98}$, а знаменатель $q = \frac{2}{7}$;

2) $c_6 = 100$, $c_9 = 100 000$.

1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии ($c_n$) имеет вид: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи даны четвертый член прогрессии $c_4 = \frac{1}{98}$ и знаменатель $q = \frac{2}{7}$.

Подставим эти значения в формулу для n-го члена при $n=4$:

$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$

$\frac{1}{98} = c_1 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^3$

Сначала вычислим значение знаменателя в кубе:

$\left(\frac{2}{7}\right)^3 = \frac{2^3}{7^3} = \frac{8}{343}$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$\frac{1}{98} = c_1 \cdot \frac{8}{343}$

Чтобы найти $c_1$, нужно разделить $\frac{1}{98}$ на $\frac{8}{343}$:

$c_1 = \frac{1}{98} \div \frac{8}{343} = \frac{1}{98} \cdot \frac{343}{8}$

Для упрощения дроби разложим числа 98 и 343 на простые множители. Мы знаем, что $343 = 7^3$, а $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$.

$c_1 = \frac{1}{2 \cdot 7^2} \cdot \frac{7^3}{8} = \frac{7^{3-2}}{2 \cdot 8} = \frac{7}{16}$

Ответ: $c_1 = \frac{7}{16}$.

2)

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_6 = 100$ и $c_9 = 100\:000$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого воспользуемся свойством геометрической прогрессии, которое связывает любые два её члена: $c_n = c_m \cdot q^{n-m}$.

Подставим наши значения, взяв $n=9$ и $m=6$:

$c_9 = c_6 \cdot q^{9-6}$

$100\:000 = 100 \cdot q^3$

Теперь найдем $q^3$, разделив обе части уравнения на 100:

$q^3 = \frac{100\:000}{100} = 1000$

Из этого следует, что знаменатель $q$ равен:

$q = \sqrt[3]{1000} = 10$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член прогрессии $c_1$. Используем формулу n-го члена $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и известный член прогрессии, например, $c_6 = 100$.

$c_6 = c_1 \cdot q^{6-1} = c_1 \cdot q^5$

Подставим известные значения $c_6=100$ и $q=10$:

$100 = c_1 \cdot 10^5$

$100 = c_1 \cdot 100\:000$

Выразим $c_1$:

$c_1 = \frac{100}{100\:000} = \frac{1}{1000}$

Ответ: $c_1 = \frac{1}{1000}$.

837. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... .

Найдите номер этого члена.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — её первый член, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

Дана геометрическая прогрессия, начинающаяся с чисел 2, 6, 18, ...

1. Определение параметров прогрессии
Первый член прогрессии, исходя из последовательности, равен: $b_1 = 2$.
Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый предыдущий член для получения следующего. Найдем его, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Составление и решение уравнения
По условию, нам нужно найти номер члена, который равен 486. Это значит, что $b_n = 486$. Подставим известные значения $b_1 = 2$, $q = 3$ и $b_n = 486$ в формулу n-го члена: $486 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала разделим обе части уравнения на 2: $\frac{486}{2} = 3^{n-1}$ $243 = 3^{n-1}$

Чтобы найти $n-1$, представим число 243 как степень с основанием 3. $3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
Таким образом, $243 = 3^5$.

Теперь уравнение выглядит так: $3^5 = 3^{n-1}$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $5 = n - 1$

Отсюда находим $n$: $n = 5 + 1$ $n = 6$

Таким образом, число 486 является шестым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 6

838. Число 96 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \dots $
Найдите номер этого члена.

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается как $ (b_n) $. По условию, ее первые члены: $ b_1 = \frac{3}{8} $, $ b_2 = \frac{3}{4} $, $ b_3 = \frac{3}{2} $. Нам нужно найти номер $ n $ члена прогрессии, который равен 96.

1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии $ q $.
Знаменатель прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему. Найдем его, разделив второй член на первый:
$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/4}{3/8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{4} = 2 $.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Формула n-го члена имеет вид: $ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} $.
Нам известно, что $ b_n = 96 $, $ b_1 = \frac{3}{8} $ и $ q = 2 $. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $ n $:
$ 96 = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1} $.

3. Решим полученное уравнение.
Чтобы найти $ 2^{n-1} $, умножим обе части уравнения на 8 и разделим на 3:
$ 2^{n-1} = \frac{96 \cdot 8}{3} $
Сократим 96 и 3:
$ 2^{n-1} = 32 \cdot 8 $
$ 2^{n-1} = 256 $
Теперь представим число 256 как степень двойки. Известно, что $ 2^8 = 256 $.
Получаем:
$ 2^{n-1} = 2^8 $
Поскольку основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$ n - 1 = 8 $
$ n = 8 + 1 $
$ n = 9 $

Следовательно, число 96 является девятым членом данной геометрической прогрессии.
Ответ: 9