Страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, отличным от единицы?

1.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии — это сумма вида $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$, где $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Чтобы найти формулу для вычисления этой суммы при условии, что знаменатель прогрессии $q$ не равен единице ($q \neq 1$), выполним следующие шаги.

1. Определим члены прогрессии.
Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда любой член прогрессии можно выразить через $b_1$ и $q$ по формуле $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.

2. Запишем сумму.
Сумма $n$ первых членов прогрессии $S_n$ запишется так:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-2} + b_1q^{n-1}$

3. Вывод формулы.
Для вывода формулы используем следующий приём: умножим обе части записанного выше равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) \cdot q$
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^{n-1} + b_1q^n$

Теперь у нас есть два уравнения:
1) $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$
2) $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Вычтем из второго уравнения первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

После вычитания большинство слагаемых в правой части взаимно уничтожатся:
$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем $S_n$ в левой части и $b_1$ в правой части за скобки:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Поскольку по условию задачи знаменатель $q$ отличен от единицы ($q \neq 1$), то выражение $(q-1)$ не равно нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Это и есть искомая формула. Для её использования необходимо знать первый член прогрессии $b_1$, её знаменатель $q$ и количество суммируемых членов $n$.

Эту формулу также можно записать в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, умножив числитель и знаменатель на $-1$. Этот вариант удобнее использовать, когда $|q| < 1$.

Ответ: Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 1$ находится по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

2. Чему равна сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице?

Обозначим геометрическую прогрессию как $(b_n)$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, знаменатель прогрессии равен единице, то есть $q = 1$.

Общая формула для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Эта формула применима только при $q \neq 1$, так как в противном случае знаменатель дроби обращается в ноль, что недопустимо.

Рассмотрим случай, когда $q = 1$. Найдем несколько первых членов такой прогрессии, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 = b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot 1^1 = b_1$
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot 1^2 = b_1$
...
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot 1^{n-1} = b_1$

Таким образом, если знаменатель геометрической прогрессии равен единице, то все её члены равны первому члену $b_1$. Такая прогрессия является постоянной последовательностью.

Сумма $n$ первых членов этой прогрессии будет суммой $n$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $b_1$:
$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n = \underbrace{b_1 + b_1 + b_1 + \ldots + b_1}_{n \text{ слагаемых}}$

Следовательно, сумма равна произведению количества членов $n$ на значение первого члена $b_1$.
$S_n = n \cdot b_1$

Ответ: Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице, равна $n \cdot b_1$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

870. Найдите сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 10, q = 3, n = 4;$

2) $b_1 = -4, q = -1, n = 10;$

3) $b_1 = 0.6, q = 2, n = 5;$

4) $b_1 = 4.5, q = \frac{1}{3}, n = 8;$

5) $b_1 = -9, q = \sqrt{3}, n = 6;$

6) $b_1 = 8, q = -\frac{1}{2}, n = 4.$

Для нахождения суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$)

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Если $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

1) Дано: $b_1 = 10$, $q = 3$, $n = 4$.

Подставляем значения в формулу:

$S_4 = \frac{10(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{10(81 - 1)}{2} = \frac{10 \cdot 80}{2} = 5 \cdot 80 = 400$.

Ответ: $400$.

2) Дано: $b_1 = -4$, $q = -1$, $n = 10$.

Подставляем значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-4((-1)^{10} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-4(1 - 1)}{-2} = \frac{-4 \cdot 0}{-2} = 0$.

Ответ: $0$.

3) Дано: $b_1 = 0.6$, $q = 2$, $n = 5$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{0.6(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{0.6(32 - 1)}{1} = 0.6 \cdot 31 = 18.6$.

Ответ: $18.6$.

4) Дано: $b_1 = 4.5$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 8$.

Так как $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_8 = \frac{4.5(1 - (\frac{1}{3})^8)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{9}{2}(1 - \frac{1}{6561})}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561}}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 6560 \cdot 3}{4 \cdot 6561}$.

Упростим выражение, зная что $6561 = 3^8 = 27 \cdot 243$:

$S_8 = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot 27 \cdot 243} = \frac{6560}{4 \cdot 243} = \frac{1640}{243}$.

Ответ: $\frac{1640}{243}$.

5) Дано: $b_1 = -9$, $q = \sqrt{3}$, $n = 6$.

Подставляем значения в формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{-9((\sqrt{3})^6 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9(3^3 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9 \cdot 26}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-234}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{2} = -117(\sqrt{3} + 1)$.

Ответ: $-117(\sqrt{3} + 1)$.

6) Дано: $b_1 = 8$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 4$.

Так как $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_4 = \frac{8(1 - (-\frac{1}{2})^4)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8(1 - \frac{1}{16})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{15}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

Ответ: $5$.

871. Найдите сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 1, q = 2, n = 9;$

2) $b_1 = 15, q = \frac{2}{3}, n = 3;$

3) $b_1 = 18, q = -\frac{1}{3}, n = 5;$

4) $b_1 = 4, q = -\sqrt{2}, n = 4.$

Для нахождения суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

1) Дано: $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 9$.
Подставим данные значения в формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_9 = \frac{b_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$.
Ответ: 511

2) Дано: $b_1 = 15$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 3$.
В данном случае, когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим значения:
$S_3 = \frac{15 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^3)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{15 \cdot (1 - \frac{8}{27})}{ \frac{1}{3} } = \frac{15 \cdot \frac{27-8}{27}}{\frac{1}{3}} = \frac{15 \cdot \frac{19}{27}}{\frac{1}{3}}$.
Для деления на дробь, умножим на обратную ей:
$S_3 = 15 \cdot \frac{19}{27} \cdot 3 = \frac{15 \cdot 19}{9} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot 19}{3 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 19}{3} = \frac{95}{3}$.
Ответ: $\frac{95}{3}$

3) Дано: $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 5$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим значения:
$S_5 = \frac{18 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18 \cdot (1 - (-\frac{1}{243}))}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$.
Выполним умножение и сокращение дробей:
$S_5 = 18 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18 \cdot 3 \cdot 244}{243 \cdot 4} = \frac{54 \cdot 244}{972} = \frac{244}{18} = \frac{122}{9}$.
Ответ: $\frac{122}{9}$

4) Дано: $b_1 = 4$, $q = -\sqrt{2}$, $n = 4$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим значения:
$S_4 = \frac{4 \cdot ((-\sqrt{2})^4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.
Сначала вычислим числитель:
$(-\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.
$4 \cdot (4 - 1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Теперь выражение для суммы выглядит так: $S_4 = \frac{12}{-\sqrt{2} - 1} = -\frac{12}{\sqrt{2} + 1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2} - 1)$:
$S_4 = -\frac{12 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1)} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{1} = -12(\sqrt{2} - 1) = 12(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $12(1 - \sqrt{2})$