Страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. По условию, модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Такая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумма первых $n$ членов этой прогрессии (так называемая частичная сумма) обозначается как $S_n$ и вычисляется по формуле: $$ S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называют число, к которому стремится последовательность ее частичных сумм $S_n$ при неограниченном увеличении числа членов ($n \to \infty$). Иными словами, это предел последовательности частичных сумм: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Чтобы найти этот предел, рассмотрим выражение для $S_n$. Поскольку по условию $|q| < 1$, то при $n \to \infty$ значение $q^n$ стремится к нулю. Например, если $q = \frac{1}{2}$, то последовательность $q^n$ будет выглядеть так: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$, и ее члены становятся все ближе и ближе к нулю.

Таким образом, мы можем вычислить предел: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} $$

Эта формула позволяет найти конечное число, являющееся суммой бесконечного числа слагаемых для сходящейся геометрической прогрессии.

Ответ: Суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы, называют предел последовательности ее частичных сумм при $n \to \infty$. Эта сумма вычисляется по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$ где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

896. Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 24, q = \frac{3}{4}$;

2) $b_1 = -84, q = -\frac{1}{3}$;

3) $b_1 = 63, q = -\frac{1}{6}$;

4) $b_1 = -81, q = -\frac{2}{7}$.

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ - это сумма прогрессии, $b_1$ - ее первый член, а $q$ - знаменатель. Эта формула справедлива при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Во всех пунктах задачи это условие выполняется.

1) Дано: $b_1 = 24$, $q = \frac{3}{4}$.

Так как $|q| = |\frac{3}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{24}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{24}{\frac{4-3}{4}} = \frac{24}{\frac{1}{4}} = 24 \cdot 4 = 96$.

Ответ: 96

2) Дано: $b_1 = -84$, $q = -\frac{1}{3}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{-84}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-84}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-84}{\frac{3+1}{3}} = \frac{-84}{\frac{4}{3}} = -84 \cdot \frac{3}{4} = -21 \cdot 3 = -63$.

Ответ: -63

3) Дано: $b_1 = 63$, $q = -\frac{1}{6}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{6}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{63}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{63}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{63}{\frac{6+1}{6}} = \frac{63}{\frac{7}{6}} = 63 \cdot \frac{6}{7} = 9 \cdot 6 = 54$.

Ответ: 54

4) Дано: $b_1 = -81$, $q = -\frac{2}{7}$.

Так как $|q| = |-\frac{2}{7}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{-81}{1 - (-\frac{2}{7})} = \frac{-81}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{-81}{\frac{7+2}{7}} = \frac{-81}{\frac{9}{7}} = -81 \cdot \frac{7}{9} = -9 \cdot 7 = -63$.

Ответ: -63

897. Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 15, q = \frac{2}{3};$

2) $b_1 = 18, q = -\frac{1}{4}.$

Для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула при условии, что модуль знаменателя прогрессии $|q| < 1$:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель.

1)

В данном случае первый член прогрессии $b_1 = 15$, а знаменатель $q = \frac{2}{3}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < 1$, то прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{15}{1 - \frac{2}{3}}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь найдём сумму:

$S = \frac{15}{\frac{1}{3}} = 15 \cdot 3 = 45$

Ответ: 45

2)

Здесь первый член прогрессии $b_1 = 18$, а знаменатель $q = -\frac{1}{4}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, мы можем вычислить сумму этой прогрессии.

Подставим данные значения в формулу:

$S = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{4})}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$1 - (-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь вычислим сумму:

$S = \frac{18}{\frac{5}{4}} = 18 \cdot \frac{4}{5} = \frac{72}{5} = 14,4$

Ответ: 14,4

898. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $10; 1; 0.1; \dots$

2) $0.3; 0.03; 0.003; \dots$

3) $6; -3; 1.5; \dots$

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если $|q| < 1$.

1) 10; 1; 0,1; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 10$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{1}{10} = 0,1$.

Так как $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{10}{1 - 0,1} = \frac{10}{0,9} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$.

Ответ: $11 \frac{1}{9}$.

2) 0,3; 0,03; 0,003; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{0,03}{0,3} = 0,1$.

Так как $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) 6; –3; 1,5; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-3}{6} = -0,5$.

Так как $|q| = |-0,5| = 0,5 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - (-0,5)} = \frac{6}{1 + 0,5} = \frac{6}{1,5} = 4$.

Ответ: $4$.

899. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 64, 24, 9, ...;

2) -396, 330, -275, ... .

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула применима только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии 64, 24, 9, ... первый член $b_1 = 64$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{64}$

Сократим дробь на 8:

$q = \frac{24 \div 8}{64 \div 8} = \frac{3}{8}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Так как $3 < 8$, то $\frac{3}{8} < 1$. Условие выполняется, следовательно, можно найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{64}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{64}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}} = \frac{64}{\frac{5}{8}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S = 64 \cdot \frac{8}{5} = \frac{512}{5} = 102,4$

Ответ: $102,4$.

2) Рассмотрим вторую прогрессию: –396, 330, –275, ... .

Первый член этой прогрессии $b_1 = -396$.

Найдем её знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{330}{-396} = -\frac{330}{396}$

Сократим дробь. Заметим, что оба числа делятся на 10 и 3, а значит и на 30. Проверим делимость на 66: $330 = 5 \cdot 66$ и $396 = 6 \cdot 66$.

$q = -\frac{5 \cdot 66}{6 \cdot 66} = -\frac{5}{6}$

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6}$. Так как $5 < 6$, то $\frac{5}{6} < 1$. Условие выполняется.

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-396}{1 - (-\frac{5}{6})} = \frac{-396}{1 + \frac{5}{6}} = \frac{-396}{\frac{6}{6} + \frac{5}{6}} = \frac{-396}{\frac{11}{6}}$

Выполним деление:

$S = -396 \cdot \frac{6}{11}$

Разделим 396 на 11: $396 \div 11 = 36$.

$S = -36 \cdot 6 = -216$

Ответ: $-216$.