Страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

872. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:

1) 12, 72, 432, ...;

2) $\frac{1}{16}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$, ...

1)

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $12, 72, 432, ...$, воспользуемся формулой суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В данной прогрессии первый член $b_1 = 12$, а количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 5$.

Сначала определим знаменатель прогрессии q, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{72}{12} = 6$.

Теперь подставим все известные значения в формулу: $S_5 = \frac{12(6^5 - 1)}{6 - 1}$.

Произведем вычисления: $S_5 = \frac{12(7776 - 1)}{5} = \frac{12 \cdot 7775}{5}$.

Разделив 7775 на 5, получаем 1555. Тогда: $S_5 = 12 \cdot 1555 = 18660$.

Ответ: 18660.

2)

Для второй прогрессии $\frac{1}{16}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, ...$ также находим сумму первых пяти членов, используя ту же формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Здесь первый член $b_1 = \frac{1}{16}$, и $n = 5$.

Определим знаменатель прогрессии q: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/8}{1/16} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = -2$.

Подставим значения в формулу: $S_5 = \frac{\frac{1}{16}((-2)^5 - 1)}{-2 - 1}$.

Вычислим значение в скобках и знаменатель: $S_5 = \frac{\frac{1}{16}(-32 - 1)}{-3} = \frac{\frac{1}{16}(-33)}{-3}$.

Упростим полученное выражение: $S_5 = \frac{1}{16} \cdot \frac{-33}{-3} = \frac{1}{16} \cdot 11 = \frac{11}{16}$.

Ответ: $\frac{11}{16}$.

873. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии:

1) -0,6; 3; -15; ...;

2) 56; 42; 31,5; ... .

1) Для решения задачи необходимо найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии $-0,6; 3; -15; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -0,6$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-0,6} = -5$.

Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{-15}{3} = -5$. Знаменатель найден верно.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае $n=4$. Подставим значения $b_1 = -0,6$, $q = -5$ и $n = 4$ в формулу:

$S_4 = \frac{-0,6 \cdot ((-5)^4 - 1)}{-5 - 1} = \frac{-0,6 \cdot (625 - 1)}{-6} = \frac{-0,6 \cdot 624}{-6}$

Сократим $-0,6$ и $-6$:

$S_4 = 0,1 \cdot 624 = 62,4$.

Ответ: $62,4$.

2) Для решения задачи необходимо найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии $56; 42; 31,5; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = 56$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{42}{56} = \frac{3 \cdot 14}{4 \cdot 14} = \frac{3}{4}$.

Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{31,5}{42} = \frac{63/2}{42} = \frac{63}{2 \cdot 42} = \frac{63}{84} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{3}{4}$. Знаменатель найден верно.

Используем ту же формулу для суммы первых четырех членов ($n=4$):

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1}$

Подставим значения $b_1 = 56$ и $q = \frac{3}{4}$:

$S_4 = \frac{56 \cdot ((\frac{3}{4})^4 - 1)}{\frac{3}{4} - 1} = \frac{56 \cdot (\frac{81}{256} - 1)}{-\frac{1}{4}} = \frac{56 \cdot (\frac{81 - 256}{256})}{-\frac{1}{4}} = \frac{56 \cdot (\frac{-175}{256})}{-\frac{1}{4}}$

Умножим числитель на $-4$ (что эквивалентно делению на $-\frac{1}{4}$):

$S_4 = 56 \cdot \frac{175}{256} \cdot 4 = 56 \cdot \frac{175}{64}$

Сократим $56$ и $64$ на $8$:

$S_4 = 7 \cdot \frac{175}{8} = \frac{1225}{8} = 153,125$.

Ответ: $153,125$.

874. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии ($c_n$), если:

1) $c_4 = 216$, а знаменатель прогрессии $q = -3$;

2) $c_1 = 5\sqrt{5}$, $c_5 = 125\sqrt{5}$, а знаменатель прогрессии $q > 0$.

1) $c_4=216$, а знаменатель прогрессии $q = -3$

Для нахождения суммы шести первых членов геометрической прогрессии $S_6$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для этого сначала необходимо найти первый член прогрессии $c_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$. Используя данные для четвертого члена прогрессии ($c_4 = 216$) и знаменателя ($q = -3$), найдем $c_1$:
$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$
$216 = c_1 \cdot (-3)^3$
$216 = c_1 \cdot (-27)$
$c_1 = \frac{216}{-27} = -8$
Теперь, зная $c_1 = -8$ и $q = -3$, мы можем рассчитать сумму первых шести членов $S_6$:
$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-8 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим $(-3)^6 = 729$.
$S_6 = \frac{-8 \cdot (729 - 1)}{-4} = \frac{-8 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = 2 \cdot 728 = 1456$

Ответ: 1456

2) $c_1 = 5\sqrt{5}$, $c_5 = 125\sqrt{5}$, а знаменатель прогрессии $q > 0$

Для расчета суммы $S_6$ нам необходимо сначала найти знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и известные значения $c_1$ и $c_5$.
$c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4$
$125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на $5\sqrt{5}$:
$q^4 = \frac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 25$
Поскольку по условию $q > 0$, находим положительный корень:
$q = \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt{5}$
Теперь, имея $c_1 = 5\sqrt{5}$ и $q = \sqrt{5}$, вычислим сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{5\sqrt{5}((\sqrt{5})^6 - 1)}{\sqrt{5} - 1}$
Сначала вычислим $(\sqrt{5})^6 = ((\sqrt{5})^2)^3 = 5^3 = 125$.
$S_6 = \frac{5\sqrt{5}(125 - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5\sqrt{5} \cdot 124}{\sqrt{5} - 1} = \frac{620\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:
$S_6 = \frac{620\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{620\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 620\sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$
$S_6 = \frac{620 \cdot 5 + 620\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{3100 + 620\sqrt{5}}{4}$
$S_6 = \frac{3100}{4} + \frac{620\sqrt{5}}{4} = 775 + 155\sqrt{5}$

Ответ: $775 + 155\sqrt{5}$

875. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_3 = 24, x_8 = 768$.

Для решения задачи нам нужно найти первый член $x_1$ и знаменатель $q$ геометрической прогрессии $(x_n)$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию нам даны третий и восьмой члены прогрессии:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2 = 24$

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = x_1 \cdot q^7 = 768$

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x_8}{x_3} = \frac{x_1 \cdot q^7}{x_1 \cdot q^2}$

Подставим известные значения:

$\frac{768}{24} = q^{7-2}$

$32 = q^5$

Отсюда находим значение $q$:

$q = \sqrt[5]{32} = 2$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член прогрессии $x_1$ из формулы для $x_3$:

$x_1 \cdot q^2 = 24$

$x_1 \cdot 2^2 = 24$

$x_1 \cdot 4 = 24$

$x_1 = \frac{24}{4} = 6$

Теперь мы можем найти сумму первых семи членов прогрессии ($S_7$). Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу значения $x_1 = 6$, $q = 2$ и $n = 7$:

$S_7 = \frac{6(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(128 - 1)}{1} = 6 \cdot 127 = 762$

Ответ: 762.

876. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$. Для того чтобы найти сумму пяти первых членов прогрессии, $S_5$, нам нужно определить первый член прогрессии $b_1$ и её знаменатель $q$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Сравнивая эту формулу с заданной $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$, мы можем определить параметры прогрессии:
Первый член $b_1 = 10$.
Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Формула для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам требуется найти сумму первых пяти членов, то есть $n = 5$. Подставим известные значения $b_1 = 10$, $q = 3$ и $n = 5$ в эту формулу:
$S_5 = \frac{10 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим значение $3^5$:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Теперь подставим результат обратно в формулу для $S_5$ и произведем вычисления:
$S_5 = \frac{10 \cdot (243 - 1)}{2} = \frac{10 \cdot 242}{2}$
$S_5 = 10 \cdot 121 = 1210$
Или, альтернативно:
$S_5 = 5 \cdot 242 = 1210$

Таким образом, сумма пяти первых членов прогрессии равна 1210.

Ответ: 1210

877. Геометрическая прогрессия ($y_n$) задана формулой $n$-го члена $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

Для того чтобы найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии $(y_n)$, заданной формулой n-го члена $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$, необходимо сначала определить её первый член $y_1$ и знаменатель $q$. Затем можно использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1. Нахождение первого члена $y_1$ и знаменателя $q$.

Чтобы найти первый член прогрессии $y_1$, подставим $n=1$ в заданную формулу: $y_1 = \frac{(-2)^{1+1}}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти знаменатель $q$, вычислим второй член прогрессии $y_2$ (подставив $n=2$) и разделим его на первый член $y_1$: $y_2 = \frac{(-2)^{2+1}}{20} = \frac{(-2)^3}{20} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$.

Теперь находим знаменатель $q$: $q = \frac{y_2}{y_1} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{1}{5}} = -2$.

(Альтернативный способ: можно преобразовать исходную формулу к стандартному виду $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20} = \frac{(-2)^2 \cdot (-2)^{n-1}}{20} = \frac{4 \cdot (-2)^{n-1}}{20} = \frac{1}{5} \cdot (-2)^{n-1}$. Из этой формулы сразу видно, что $y_1 = \frac{1}{5}$ и $q = -2$.)

2. Вычисление суммы десяти первых членов $S_{10}$.

Теперь у нас есть все необходимые данные: $y_1 = \frac{1}{5}$, $q = -2$ и $n = 10$. Подставляем их в формулу суммы: $S_{10} = \frac{y_1(q^{10} - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{5}((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$.

Выполним вычисления по шагам: Сначала вычислим степень: $(-2)^{10} = 1024$. Затем подставим это значение в формулу: $S_{10} = \frac{\frac{1}{5}(1024 - 1)}{-3} = \frac{\frac{1}{5} \cdot 1023}{-3} = \frac{1023}{5 \cdot (-3)} = -\frac{1023}{15}$.

Сократим полученную дробь. Число 1023 делится на 3, так как сумма его цифр ($1+0+2+3=6$) делится на 3. $1023 \div 3 = 341$. Следовательно: $S_{10} = -\frac{341 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{341}{5}$.

Этот результат можно также представить в виде десятичной дроби: $-\frac{341}{5} = -68,2$.

Ответ: $-\frac{341}{5}$.

878. Знаменатель геометрической прогрессии равен $ \frac{2}{3} $, а сумма четырёх первых членов равна 65. Найдите первый член прогрессии.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{2}{3}$

Сумма первых четырёх членов: $S_4 = 65$

Количество членов: $n = 4$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_1$:

$65 = \frac{b_1(1 - (\frac{2}{3})^4)}{1 - \frac{2}{3}}$

Сначала вычислим значение выражения в знаменателе дроби:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - (\frac{2}{3})^4 = 1 - \frac{2^4}{3^4} = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в наше уравнение:

$65 = \frac{b_1 \cdot \frac{65}{81}}{\frac{1}{3}}$

Чтобы упростить правую часть, разделим числитель на знаменатель:

$65 = b_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot \frac{3}{1}$

Сократим дробь $\frac{3}{81}$:

$65 = b_1 \cdot \frac{65}{27}$

Из этого уравнения выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{65}{\frac{65}{27}} = 65 \cdot \frac{27}{65}$

$b_1 = 27$

Ответ: 27

879. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1, b_2, b_3, \dots$ - члены геометрической прогрессии, а $q$ - её знаменатель.

Согласно условию задачи, сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ равна 516, а первый член $b_1$ равен 12.
$S_3 = 516$
$b_1 = 12$

Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии выражается как $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.
Используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, можем записать:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Подставим эти выражения в формулу суммы:
$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 516$

Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 516$

Теперь подставим известное значение $b_1 = 12$:
$12(1 + q + q^2) = 516$

Для того чтобы найти $q$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 12:
$1 + q + q^2 = \frac{516}{12}$
$1 + q + q^2 = 43$

Перенесем 43 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$q^2 + q + 1 - 43 = 0$
$q^2 + q - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1, b=1, c=-42$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$q_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$q_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Таким образом, существуют два возможных значения для знаменателя прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 6 или -7.

880. (Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского¹.) Воину дана награда: за первую рану 1 к., за вторую – 2 к., за третью – 4 к. и т. д. После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме 655 р. 35 к. Спрашивается количество его ран.

Согласно условию, воину была дана награда за раны по следующему принципу: за первую рану — 1 копейка, за вторую — 2 копейки, за третью — 4 копейки, и так далее. Мы видим, что размеры наград образуют геометрическую прогрессию.

Определим параметры этой прогрессии ($b_n$):
- Первый член прогрессии (награда за первую рану) $b_1 = 1$.
- Знаменатель прогрессии $q$, который показывает, во сколько раз следующий член больше предыдущего, равен $q = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$.

Общая сумма награды составляет 655 рублей 35 копеек. Для решения задачи необходимо перевести эту сумму в одну единицу измерения — копейки. Поскольку 1 рубль равен 100 копейкам, получаем:
$S_{общ} = 655 \times 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535$ копеек.

Эта общая сумма является суммой $n$ первых членов геометрической прогрессии, где $n$ — это искомое количество ран. Формула суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Теперь подставим известные значения ($S_n = 65535$, $b_1 = 1$, $q = 2$) в эту формулу, чтобы найти $n$:
$65535 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$

Упростим полученное уравнение:
$65535 = \frac{2^n - 1}{1}$
$65535 = 2^n - 1$

Выразим $2^n$:
$2^n = 65535 + 1$
$2^n = 65536$

Осталось найти, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 65536. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Используя это, можно найти искомую степень:
$2^{16} = 2^{10} \times 2^6 = 1024 \times 64 = 65536$.
Таким образом, $n = 16$.

Ответ: 16 ран.

881. Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если её первый член $b_1 = 5$, а знаменатель прогрессии $q = 3$.

Для решения этой задачи используется формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов прогрессии, $b_1$ — её первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

В условии задачи нам даны:

• Сумма членов прогрессии $S_n = 605$.
• Первый член прогрессии $b_1 = 5$.
• Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Нам нужно найти количество членов $n$. Подставим известные значения в формулу:

$605 = \frac{5(3^n - 1)}{3 - 1}$

Сначала упростим выражение в знаменателе:

$605 = \frac{5(3^n - 1)}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Умножим обе части уравнения на 2:

$605 \cdot 2 = 5(3^n - 1)$

$1210 = 5(3^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{1210}{5} = 3^n - 1$

$242 = 3^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$242 + 1 = 3^n$

$243 = 3^n$

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 3, чтобы получить 243. Мы можем представить 243 как степень числа 3:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Таким образом, мы получаем:

$3^n = 3^5$

Отсюда следует, что $n=5$.

Ответ: 5

882. Бактерия, попав в благоприятную среду, в конце двадцатой минуты делится на две бактерии, каждая из которых в конце следующих 20 мин делится снова на две, и т. д. Сколько бактерий получится из одной бактерии в течение суток?

Данная задача описывает процесс экспоненциального роста, который можно представить в виде геометрической прогрессии. Количество бактерий удваивается каждые 20 минут.

1. Сначала определим общее количество минут в сутках. В одних сутках 24 часа, в каждом часе 60 минут.
$24 \text{ часа} \times 60 \text{ минут/час} = 1440 \text{ минут}$.

2. Теперь найдем, сколько раз за это время произойдет деление бактерий. Поскольку деление происходит каждые 20 минут, мы можем рассчитать количество циклов деления ($n$):
$n = \frac{1440 \text{ минут}}{20 \text{ минут}} = 72$.
Следовательно, за 24 часа произойдет 72 цикла деления.

3. Изначально у нас есть одна бактерия. После каждого цикла деления количество бактерий удваивается. Количество бактерий $N$ после $n$ циклов можно найти по формуле $N = N_0 \times 2^n$, где $N_0$ — это начальное количество бактерий.
В нашем случае $N_0 = 1$ и $n = 72$. Подставим эти значения в формулу:
$N = 1 \times 2^{72} = 2^{72}$.

Ответ: $2^{72}$ бактерий.

883. При любом n сумма n первых членов геометрической прогрессии $S_n = 4(3^n - 1)$. Найдите третий член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$), зная формулу суммы ее первых n членов ($S_n$), можно использовать соотношение, согласно которому n-й член прогрессии равен разности суммы n первых членов и суммы (n-1) первых членов.

Формула для n-го члена: $b_n = S_n - S_{n-1}$ (при $n > 1$).

В нашем случае, чтобы найти третий член прогрессии ($b_3$), мы должны из суммы трех первых членов ($S_3$) вычесть сумму двух первых членов ($S_2$):

$b_3 = S_3 - S_2$

Нам дана формула для суммы n первых членов: $S_n = 4(3^n - 1)$.

1. Найдем сумму трех первых членов ($S_3$), подставив $n=3$ в заданную формулу:

$S_3 = 4(3^3 - 1) = 4(27 - 1) = 4 \cdot 26 = 104$.

2. Найдем сумму двух первых членов ($S_2$), подставив $n=2$ в заданную формулу:

$S_2 = 4(3^2 - 1) = 4(9 - 1) = 4 \cdot 8 = 32$.

3. Теперь вычислим третий член прогрессии:

$b_3 = S_3 - S_2 = 104 - 32 = 72$.

Проверка (второй способ решения):

Найдем первый и второй члены прогрессии, а затем знаменатель, чтобы убедиться в правильности расчетов.

Первый член $b_1$ равен сумме первого члена $S_1$:

$b_1 = S_1 = 4(3^1 - 1) = 4(2) = 8$.

Второй член $b_2$ равен $S_2 - S_1$:

$b_2 = S_2 - S_1 = 32 - 8 = 24$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{8} = 3$.

Теперь найдем третий член по стандартной формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 72