Номер 880, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

880. (Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского¹.) Воину дана награда: за первую рану 1 к., за вторую – 2 к., за третью – 4 к. и т. д. После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме 655 р. 35 к. Спрашивается количество его ран.

Согласно условию, воину была дана награда за раны по следующему принципу: за первую рану — 1 копейка, за вторую — 2 копейки, за третью — 4 копейки, и так далее. Мы видим, что размеры наград образуют геометрическую прогрессию.

Определим параметры этой прогрессии ($b_n$):
- Первый член прогрессии (награда за первую рану) $b_1 = 1$.
- Знаменатель прогрессии $q$, который показывает, во сколько раз следующий член больше предыдущего, равен $q = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$.

Общая сумма награды составляет 655 рублей 35 копеек. Для решения задачи необходимо перевести эту сумму в одну единицу измерения — копейки. Поскольку 1 рубль равен 100 копейкам, получаем:
$S_{общ} = 655 \times 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535$ копеек.

Эта общая сумма является суммой $n$ первых членов геометрической прогрессии, где $n$ — это искомое количество ран. Формула суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Теперь подставим известные значения ($S_n = 65535$, $b_1 = 1$, $q = 2$) в эту формулу, чтобы найти $n$:
$65535 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$

Упростим полученное уравнение:
$65535 = \frac{2^n - 1}{1}$
$65535 = 2^n - 1$

Выразим $2^n$:
$2^n = 65535 + 1$
$2^n = 65536$

Осталось найти, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 65536. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Используя это, можно найти искомую степень:
$2^{16} = 2^{10} \times 2^6 = 1024 \times 64 = 65536$.
Таким образом, $n = 16$.

Ответ: 16 ран.