Номер 884, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

884. При любом n сумма n первых членов геометрической прогрессии $S_n = 6 \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1 \right)$. Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена прогрессии, обозначаемого $b_n$, зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, можно использовать соотношение $b_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$). Четвёртый член прогрессии $b_4$ равен разности между суммой первых четырёх членов $S_4$ и суммой первых трёх членов $S_3$.

Нам дана формула для суммы первых $n$ членов: $S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1 \right)$.

1. Вычислим сумму первых четырёх членов ($S_4$), подставив $n=4$ в заданную формулу:

$S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 1 \right) = 6 \left( \frac{1}{16} - 1 \right)$

$S_4 = 6 \left( \frac{1 - 16}{16} \right) = 6 \left( -\frac{15}{16} \right) = \frac{6 \cdot (-15)}{16} = \frac{3 \cdot (-15)}{8} = -\frac{45}{8}$

2. Вычислим сумму первых трёх членов ($S_3$), подставив $n=3$ в формулу:

$S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 1 \right) = 6 \left( -\frac{1}{8} - 1 \right)$

$S_3 = 6 \left( \frac{-1 - 8}{8} \right) = 6 \left( -\frac{9}{8} \right) = \frac{6 \cdot (-9)}{8} = \frac{3 \cdot (-9)}{4} = -\frac{27}{4}$

3. Теперь найдём четвёртый член прогрессии $b_4$ как разность $S_4$ и $S_3$:

$b_4 = S_4 - S_3 = -\frac{45}{8} - \left(-\frac{27}{4}\right) = -\frac{45}{8} + \frac{27}{4}$

Приведём дроби к общему знаменателю 8:

$b_4 = -\frac{45}{8} + \frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{54 - 45}{8} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{9}{8}$.