Номер 886, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

886. Найдите сумму кубов четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 3$ и $b_2 = -6$.

По условию задачи дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где первый член $b_1 = 3$ и второй член $b_2 = -6$. Необходимо найти сумму кубов первых четырёх членов этой прогрессии, то есть величину $S = b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + b_4^3$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.

2. Рассмотрение последовательности кубов членов прогрессии
Рассмотрим последовательность, членами которой являются кубы членов исходной прогрессии: $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \dots$.
Покажем, что эта новая последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим её члены как $c_n = b_n^3$.
Общий член исходной прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Тогда общий член новой последовательности: $c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^3 = b_1^3 \cdot (q^3)^{n-1}$.
Это формула n-го члена геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = b_1^3$ и знаменателем $q' = q^3$.

3. Вычисление параметров новой прогрессии
Найдем первый член и знаменатель новой прогрессии:
Первый член: $c_1 = b_1^3 = 3^3 = 27$.
Знаменатель: $q' = q^3 = (-2)^3 = -8$.

4. Нахождение суммы кубов
Сумма, которую нам нужно найти, — это сумма первых четырёх членов новой геометрической прогрессии $(c_n)$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{c_1(q'^n - 1)}{q' - 1}$
Подставим наши значения: $n=4$, $c_1=27$ и $q'=-8$:
$S_4 = \frac{27 \cdot ((-8)^4 - 1)}{-8 - 1} = \frac{27 \cdot (4096 - 1)}{-9}$
$S_4 = \frac{27 \cdot 4095}{-9}$
Сократим дробь на 9:
$S_4 = -3 \cdot 4095$
$S_4 = -12285$

Проверка прямым вычислением:
$b_1 = 3$
$b_2 = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-2) = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$
$S = b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + b_4^3 = 3^3 + (-6)^3 + 12^3 + (-24)^3$
$S = 27 + (-216) + 1728 + (-13824)$
$S = 27 - 216 + 1728 - 13824 = 1755 - 14040 = -12285$.
Результаты совпадают.

Ответ: -12285.