Номер 887, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

887. Докажите тождество $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$.

Чтобы доказать тождество $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$, мы преобразуем его правую часть, раскрыв скобки.

Правая часть выражения: $(a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$.

Для раскрытия скобок умножим каждый член второго множителя $(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$ сначала на $a$, а затем на $-1$, и сложим результаты.

1. Умножение на $a$:

$a \cdot (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1) = (a \cdot a^{n-1}) + (a \cdot a^{n-2}) + ... + (a \cdot a) + (a \cdot 1)$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем:

$a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a$

2. Умножение на $-1$:

$-1 \cdot (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1) = -a^{n-1} - a^{n-2} - ... - a - 1$

3. Сложение результатов:

Теперь сложим выражения, полученные в шагах 1 и 2:

$(a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a) + (-a^{n-1} - a^{n-2} - ... - a - 1)$

Перегруппируем слагаемые для наглядности:

$a^n + (a^{n-1} - a^{n-1}) + (a^{n-2} - a^{n-2}) + ... + (a^2 - a^2) + (a - a) - 1$

Как мы видим, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $a^{n-1}$ и $-a^{n-1}$, $a^{n-2}$ и $-a^{n-2}$, и так далее, вплоть до $a$ и $-a$. Этот процесс называется телескопическим сокращением.

В результате остаются только первый и последний члены: $a^n$ и $-1$.

Таким образом, правая часть тождества упрощается до $a^n - 1$.

Следовательно, мы получили равенство $a^n - 1 = a^n - 1$. Мы показали, что правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано путем алгебраического преобразования его правой части. При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и в результате остается выражение, идентичное левой части.