Номер 894, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

894. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a - b)^2} + \sqrt{16a^2}$, если $a < 0$ и $b > 0$;

2) $\sqrt{(x - y)^2} - \sqrt{9y^2}$, если $x > 0$ и $y < 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{16a^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{z^2} = |z|$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{16a^2} = |a-b| + \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^2} = |a-b| + 4|a|$.

Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданные условия: $a < 0$ и $b > 0$.

1. Определим знак выражения под первым модулем, $a-b$. Поскольку $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное, то разность $a-b$ (вычитание положительного числа из отрицательного) всегда будет отрицательной. Следовательно, $a-b < 0$. По определению модуля, если выражение под ним отрицательно, то $|a-b| = -(a-b) = b-a$.

2. Определим знак выражения под вторым модулем, $a$. По условию $a < 0$, поэтому по определению модуля $|a| = -a$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в упрощенную формулу:

$|a-b| + 4|a| = (b-a) + 4(-a) = b - a - 4a = b - 5a$.

Ответ: $b - 5a$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(x-y)^2} - \sqrt{9y^2}$ при условиях $x > 0$ и $y < 0$.

Снова используем свойство $\sqrt{z^2} = |z|$:

$\sqrt{(x-y)^2} - \sqrt{9y^2} = |x-y| - \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} = |x-y| - 3|y|$.

Раскроем модули, используя условия $x > 0$ и $y < 0$.

1. Определим знак выражения $x-y$. Так как $x$ — положительное число, а $y$ — отрицательное, то разность $x-y$ (вычитание отрицательного числа из положительного) всегда будет положительной. Следовательно, $x-y > 0$. По определению модуля, если выражение под ним положительно, то $|x-y| = x-y$.

2. Определим знак выражения $y$. По условию $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x-y| - 3|y| = (x-y) - 3(-y) = x - y + 3y = x + 2y$.

Ответ: $x + 2y$.