Номер 900, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

900. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,\overline{1}$;

2) $0,\overline{5}$;

3) $0,\overline{24}$;

4) $0,\overline{416}$;

5) $0,2\overline{6}$;

6) $0,6\overline{25}$;

7) $1,\overline{18}$;

8) $2,3\overline{36}$.

Чтобы представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, используется следующий алгоритм:

1. Обозначить периодическую дробь переменной $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр в периоде, чтобы "сдвинуть" период влево на один полный цикл.
3. Если дробь смешанная (есть цифры после запятой, но до периода), то сначала умножить $x$ на $10^m$, где $m$ — количество цифр до периода, а затем выполнить вычитание двух полученных уравнений, чтобы исключить бесконечную часть.
4. Решить полученное уравнение относительно $x$.

1) 0,1111...

Данная дробь является чистой периодической дробью, которую можно записать как $0,(1)$.

Пусть $x = 0,1111...$

Так как в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на 10:

$10x = 1,1111...$

Вычтем из второго равенства первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10x - x = 1,1111... - 0,1111...$

$9x = 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) 0,(5)

Данная дробь $0,(5)$ равна $0,5555...$

Пусть $x = 0,5555...$

В периоде одна цифра, поэтому умножаем на 10:

$10x = 5,5555...$

Вычитаем исходное уравнение:

$10x - x = 5,5555... - 0,5555...$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

3) 0,(24)

Дробь $0,(24)$ равна $0,242424...$

Пусть $x = 0,242424...$

В периоде две цифры, поэтому умножаем на 100:

$100x = 24,242424...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 24,242424... - 0,242424...$

$99x = 24$

$x = \frac{24}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{24 \div 3}{99 \div 3} = \frac{8}{33}$

Ответ: $\frac{8}{33}$

4) 0,416416416...

Данную дробь можно записать как $0,(416)$.

Пусть $x = 0,416416...$

В периоде три цифры, умножаем на 1000:

$1000x = 416,416416...$

Вычитаем исходное уравнение:

$1000x - x = 416,416416... - 0,416416...$

$999x = 416$

$x = \frac{416}{999}$

Ответ: $\frac{416}{999}$

5) 0,2666...

Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,2(6)$.

Пусть $x = 0,2666...$

Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:

$10x = 2,666...$

Умножим исходное равенство на 100, чтобы и непериодическая часть, и первый период оказались слева от запятой:

$100x = 26,666...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 26,666... - 2,666...$

$90x = 24$

$x = \frac{24}{90}$

Сократим дробь на 6:

$x = \frac{24 \div 6}{90 \div 6} = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$

6) 0,6252525...

Это смешанная периодическая дробь $0,6(25)$.

Пусть $x = 0,62525...$

Умножим на 10 (по количеству цифр до периода):

$10x = 6,2525...$

Умножим на 1000 (по количеству цифр до конца первого периода):

$1000x = 625,2525...$

Вычтем из второго равенства первое:

$1000x - 10x = 625,2525... - 6,2525...$

$990x = 619$

$x = \frac{619}{990}$

Ответ: $\frac{619}{990}$

7) 1,181818...

Дробь $1,181818...$ можно записать как $1,(18)$. Выделим целую и дробную части:

$1,(18) = 1 + 0,(18)$

Преобразуем периодическую часть $0,(18)$. Пусть $y = 0,1818...$

В периоде две цифры, умножаем на 100:

$100y = 18,1818...$

Вычитаем $y$:

$100y - y = 18,1818... - 0,1818...$

$99y = 18$

$y = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$

Теперь сложим целую и полученную дробную часть:

$1 + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} + \frac{2}{11} = \frac{13}{11}$

Ответ: $\frac{13}{11}$

8) 2,3(36)

Дробь $2,3(36)$ равна $2,3363636...$. Это смешанная периодическая дробь с целой частью.

Пусть $x = 2,33636...$

Умножим на 10, чтобы до периода не осталось цифр после запятой:

$10x = 23,3636...$

Теперь умножим $10x$ на 100 (так как в периоде две цифры):

$100 \cdot (10x) = 100 \cdot (23,3636...)$

$1000x = 2336,3636...$

Вычтем из второго равенства первое:

$1000x - 10x = 2336,3636... - 23,3636...$

$990x = 2313$

$x = \frac{2313}{990}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($2+3+1+3=9$) и знаменателя ($9+9+0=18$) делится на 9.

$x = \frac{2313 \div 9}{990 \div 9} = \frac{257}{110}$

Ответ: $\frac{257}{110}$