Номер 906, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

906. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_3 = 4, b_5 = 2;$

2) $b_1 + b_3 = 20, b_2 + b_4 = \frac{20}{3}.$

1)

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только при условии $|q| < 1$.

Нам даны третий и пятый члены прогрессии: $b_3 = 4$ и $b_5 = 2$. Воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, чтобы найти знаменатель $q$. $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.

Подставим известные значения: $2 = 4 \cdot q^2$ $q^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя: $q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $q_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. В обоих случаях модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=3$ имеем $b_3 = b_1 \cdot q^2$. $4 = b_1 \cdot \frac{1}{2}$ $b_1 = 4 \cdot 2 = 8$.

Теперь мы можем вычислить сумму для каждого из двух возможных значений $q$.

Случай 1: $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$: $S_1 = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{2-1} = 16 + 8\sqrt{2}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}-1)$: $S_2 = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{8(2-\sqrt{2})}{2-1} = 16 - 8\sqrt{2}$.

Ответ: $16 + 8\sqrt{2}$ или $16 - 8\sqrt{2}$.

2)

Даны два условия: $b_1 + b_3 = 20$ и $b_2 + b_4 = \frac{20}{3}$. Выразим все члены прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$: $b_2 = b_1 q$ $b_3 = b_1 q^2$ $b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему: $\begin{cases} b_1 + b_1 q^2 = 20 \\ b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3} \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки: $\begin{cases} b_1 (1 + q^2) = 20 & (1) \\ b_1 q (1 + q^2) = \frac{20}{3} & (2) \end{cases}$

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1). Так как правая часть уравнения (1) не равна нулю, то и $b_1(1+q^2) \neq 0$, поэтому деление возможно. $\frac{b_1 q (1 + q^2)}{b_1 (1 + q^2)} = \frac{20/3}{20}$ $q = \frac{1}{3}$

Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей и ее сумма существует.

Подставим найденное значение $q$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b_1$: $b_1 (1 + (\frac{1}{3})^2) = 20$ $b_1 (1 + \frac{1}{9}) = 20$ $b_1 (\frac{10}{9}) = 20$ $b_1 = 20 \cdot \frac{9}{10} = 18$

Теперь мы можем найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$.

Ответ: $27$.