Номер 911, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

911. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 b_4 = 36$ и $b_3 + b_5 = 8$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

По условию задачи нам дана система уравнений:

$$\begin{cases} b_2 b_4 = 36 \\ b_3 + b_5 = 8\end{cases}$$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$$\begin{cases} (b_1 q)(b_1 q^3) = 36 \\ b_1 q^2 + b_1 q^4 = 8\end{cases}$$

Упростим полученную систему:

$$\begin{cases} b_1^2 q^4 = 36 \\ b_1 q^2 (1+q^2) = 8\end{cases}$$

Из первого уравнения $b_1^2 q^4 = 36$ следует, что $(b_1 q^2)^2 = 36$. Так как третий член прогрессии $b_3 = b_1 q^2$, то получаем $b_3^2 = 36$. Отсюда следует, что $b_3$ может быть равен $6$ или $-6$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b_3 = 6$

Второе уравнение системы можно переписать через $b_3$, так как $b_5 = b_3 q^2$. Получаем $b_3 + b_3 q^2 = 8$. Подставим значение $b_3 = 6$:

$6 + 6q^2 = 8$

$6q^2 = 8 - 6$

$6q^2 = 2$

$q^2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $q_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Оба значения удовлетворяют условию сходимости $|q| < 1$, так как $|\pm\frac{1}{\sqrt{3}}| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Из $b_3 = b_1 q^2 = 6$ и $q^2 = \frac{1}{3}$ имеем:

$b_1 \cdot \frac{1}{3} = 6 \implies b_1 = 18$.

Теперь можем вычислить две возможные суммы прогрессии.

При $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{2} = 9(3+\sqrt{3}) = 27 + 9\sqrt{3}$.

При $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{2} = 9(3-\sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3}$.

Случай 2: $b_3 = -6$

Подставим это значение в уравнение $b_3 + b_3 q^2 = 8$:

$-6 + (-6)q^2 = 8$

$-6(1+q^2) = 8$

$1+q^2 = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$

$q^2 = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{7}{3}$

Данное уравнение не имеет действительных решений для $q$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию задачи, и два возможных значения для их суммы.

Ответ: $27 + 9\sqrt{3}$ и $27 - 9\sqrt{3}$.