Номер 914, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

914. Решите уравнение $1 - x^2 + x^4 - ... = \frac{16}{17}$, если $|x| < 1$.

Данное уравнение представляет собой равенство, где в левой части находится сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это можно заключить из вида слагаемых: $1, -x^2, x^4, \dots$

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{-x^2}{1} = -x^2$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Эта формула применима только при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Проверим выполнение этого условия. В задаче дано, что $|x| < 1$. Найдем модуль знаменателя нашей прогрессии:

$|q| = |-x^2| = |x^2| = x^2$.

Поскольку по условию $|x| < 1$, то возведение в квадрат обеих частей этого неравенства дает $x^2 < 1$. Таким образом, условие $|q| < 1$ выполнено, и мы можем использовать формулу для суммы.

Подставим значения $b_1 = 1$ и $q = -x^2$ в формулу суммы:

$S = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Теперь мы можем заменить левую часть исходного уравнения на полученное выражение:

$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{16}{17}$.

Решим полученное уравнение относительно $x$. Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot 17 = 16 \cdot (1 + x^2)$

$17 = 16 + 16x^2$

Вычтем 16 из обеих частей уравнения:

$1 = 16x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x = \pm\frac{1}{4}$

Получили два решения: $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$. Оба корня удовлетворяют исходному условию $|x| < 1$, так как $|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$ и $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$.

Ответ: $x = \pm\frac{1}{4}$.