Номер 920, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

920. Постройте график функции $y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \ldots$, где $x \ne 0$.

Данная функция $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Заметим, что все члены ряда, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию. Однако удобнее вынести общий множитель $x^2$ за скобки:$y = x^2 \left( 1 + \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{(1+x^2)^2} + ... \right)$

Выражение в скобках является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Определим её параметры:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{1+x^2}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, если ее знаменатель по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие для нашей функции.По условию задачи $x \neq 0$, поэтому $x^2 > 0$.Следовательно, знаменатель дроби $1+x^2 > 1$.Отсюда получаем, что $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$.Таким образом, условие $|q| < 1$ выполняется для всех $x \neq 0$.

Сумму $S$ этой прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{(1+x^2) - 1}{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{x^2}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{x^2}$

Теперь подставим найденную сумму обратно в выражение для функции $y$:$y = x^2 \cdot S = x^2 \cdot \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем сократить $x^2$ в числителе и знаменателе:$y = 1+x^2$

Таким образом, исходная функция для всех $x \neq 0$ совпадает с функцией $y = 1+x^2$.Графиком функции $y = 1+x^2$ является парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$.Однако, из-за исходного условия $x \neq 0$, точка на графике, соответствующая $x=0$, должна быть исключена. Найдем координаты этой точки:При $x=0$, $y = 1+0^2 = 1$.Значит, точка $(0, 1)$ не принадлежит графику функции. Эта точка является вершиной параболы.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = 1+x^2$ с выколотой точкой в её вершине $(0, 1)$.