Номер 923, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

923. Разложите на множители:

1) $6ab^2 - 12ab^3$;

2) $2a^3 - 8a$;

3) $3a^2c - 3c^3$;

4) $18mn^2 + 27m^2n$;

5) $100x^2 - 1$;

6) $2y^2 - 12y + 18$.

1) Для разложения на множители выражения $6ab^2 - 12ab^3$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель.
Коэффициенты 6 и 12 имеют наибольший общий делитель 6.
Переменные $a$ и $b$ входят в оба члена. Наименьшая степень для $a$ - это $a^1$, а для $b$ - это $b^2$.
Таким образом, общий множитель равен $6ab^2$.
Выносим его за скобки:
$6ab^2 - 12ab^3 = 6ab^2 \cdot 1 - 6ab^2 \cdot 2b = 6ab^2(1 - 2b)$.
Ответ: $6ab^2(1 - 2b)$

2) В выражении $2a^3 - 8a$ вынесем за скобки общий множитель $2a$.
$2a^3 - 8a = 2a(a^2 - 4)$.
Выражение в скобках $(a^2 - 4)$ представляет собой разность квадратов, так как $a^2 - 4 = a^2 - 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$2a(a^2 - 2^2) = 2a(a - 2)(a + 2)$.
Ответ: $2a(a - 2)(a + 2)$

3) В выражении $3a^2c - 3c^3$ вынесем за скобки общий множитель $3c$.
$3a^2c - 3c^3 = 3c(a^2 - c^2)$.
Выражение в скобках $(a^2 - c^2)$ является разностью квадратов. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$3c(a^2 - c^2) = 3c(a - c)(a + c)$.
Ответ: $3c(a - c)(a + c)$

4) В выражении $18mn^2 + 27m^2n$ найдем общий множитель.
Наибольший общий делитель для коэффициентов 18 и 27 равен 9.
Общие переменные - $m$ и $n$ в наименьших степенях, то есть $m^1$ и $n^1$.
Общий множитель равен $9mn$.
Выносим его за скобки:
$18mn^2 + 27m^2n = 9mn \cdot 2n + 9mn \cdot 3m = 9mn(2n + 3m)$.
Ответ: $9mn(2n + 3m)$

5) Выражение $100x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(10x)^2 - 1^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 10x$ и $b = 1$.
$(10x)^2 - 1^2 = (10x - 1)(10x + 1)$.
Ответ: $(10x - 1)(10x + 1)$

6) В выражении $2y^2 - 12y + 18$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 2.
$2y^2 - 12y + 18 = 2(y^2 - 6y + 9)$.
Выражение в скобках $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности. Его можно представить в виде $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$.
Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = y$ и $b = 3$.
$2(y^2 - 6y + 9) = 2(y - 3)^2$.
Ответ: $2(y - 3)^2$