Номер 926, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

926. Глеб задумал пять цифр: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Игорь отгадывает их. Ему разрешено задавать вопросы вида: «Чему равна сумма $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5$?», где $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ — некоторые натуральные числа. За какое наименьшее количество вопросов Игорь может отгадать задуманные Глебом цифры?

Для того чтобы гарантированно отгадать задуманные Глебом пять цифр $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, Игорю достаточно задать всего один вопрос.

Суть метода заключается в том, чтобы выбрать коэффициенты $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ таким образом, чтобы они позволяли «закодировать» пять отдельных цифр в одном числе. Это можно сделать, используя позиционную систему счисления. Поскольку задуманные числа $x_i$ являются цифрами (то есть целыми числами от 0 до 9), мы можем использовать основание системы счисления, большее 9, например, 10.

Игорь должен выбрать следующие натуральные числа в качестве коэффициентов:

• $a_1 = 10^0 = 1$
• $a_2 = 10^1 = 10$
• $a_3 = 10^2 = 100$
• $a_4 = 10^3 = 1000$
• $a_5 = 10^4 = 10000$

Затем он задает Глебу вопрос: «Чему равна сумма $S = 1 \cdot x_1 + 10 \cdot x_2 + 100 \cdot x_3 + 1000 \cdot x_4 + 10000 \cdot x_5$?»

Полученное число $S$ будет иметь уникальное представление в десятичной системе счисления. Поскольку каждая из цифр $x_i$ находится в диапазоне от 0 до 9, данная сумма является просто числом, составленным из этих цифр в определенном порядке. То есть, если представить число $S$ в виде $d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, то $x_1$ будет равно последней цифре $d_0$, $x_2$ — предпоследней $d_1$, и так далее.

Например, пусть Глеб задумал цифры $x_1=7, x_2=5, x_3=0, x_4=2, x_5=9$. Тогда Игорь, задав свой вопрос, получит в ответ число:

$S = 1 \cdot 7 + 10 \cdot 5 + 100 \cdot 0 + 1000 \cdot 2 + 10000 \cdot 9 = 7 + 50 + 0 + 2000 + 90000 = 92057$.

Из числа $S=92057$ Игорь однозначно восстанавливает все цифры:

• $x_1 = S \pmod{10} = 7$
• $x_2 = \lfloor S / 10 \rfloor \pmod{10} = 5$
• $x_3 = \lfloor S / 100 \rfloor \pmod{10} = 0$
• $x_4 = \lfloor S / 1000 \rfloor \pmod{10} = 2$
• $x_5 = \lfloor S / 10000 \rfloor \pmod{10} = 9$

Таким образом, один вопрос позволяет однозначно определить все пять цифр. Очевидно, что ноль вопросов недостаточно, так как у Игоря нет никакой информации. Следовательно, наименьшее количество вопросов, необходимое для решения задачи, равно единице.

Ответ: 1