Номер 924, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

924. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a}{2a - \sqrt{7b}}$;

2) $\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1}$;

3) $\frac{m}{m + \sqrt{n}}$;

4) $\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2}$;

5) $\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{2a - \sqrt{7b}}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2a + \sqrt{7b}$. Для преобразования знаменателя используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$\frac{a}{2a - \sqrt{7b}} = \frac{a \cdot (2a + \sqrt{7b})}{(2a - \sqrt{7b}) \cdot (2a + \sqrt{7b})} = \frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{(2a)^2 - (\sqrt{7b})^2} = \frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{4a^2 - 7b}$.
Ответ: $\frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{4a^2 - 7b}$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{4 - p} + 1$:
$\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{(\sqrt{4 - p} - 1)(\sqrt{4 - p} + 1)} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{(\sqrt{4 - p})^2 - 1^2} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{4 - p - 1} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{3 - p}$.
Заметим, что $p - 3 = -(3 - p)$, поэтому дробь можно сократить:
$\frac{-(3 - p)(\sqrt{4 - p} + 1)}{3 - p} = -(\sqrt{4 - p} + 1) = -\sqrt{4 - p} - 1$.
Ответ: $-\sqrt{4 - p} - 1$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{m}{m + \sqrt{n}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $m - \sqrt{n}$:
$\frac{m}{m + \sqrt{n}} = \frac{m \cdot (m - \sqrt{n})}{(m + \sqrt{n}) \cdot (m - \sqrt{n})} = \frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - n}$.
Ответ: $\frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - n}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{a - 3} - 2$:
$\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a - 3} - 2)}{(\sqrt{a - 3} + 2)(\sqrt{a - 3} - 2)} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{(\sqrt{a - 3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 3 - 4} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 7}$.

5) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 + \sqrt{b + 2}$:
$\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}} = \frac{7 \cdot (3 + \sqrt{b + 2})}{(3 - \sqrt{b + 2}) \cdot (3 + \sqrt{b + 2})} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{3^2 - (\sqrt{b + 2})^2} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{9 - (b + 2)} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{9 - b - 2} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{7 - b}$.
Ответ: $\frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{7 - b}$.