Номер 918, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

918. В окружность радиуса $R$ вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех треугольников;

2) площадей треугольников;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

1) периметров всех треугольников

Пусть $R_1 = R$ — радиус первой (самой большой) окружности. В нее вписан правильный треугольник со стороной $a_1$. Связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного треугольника: $a_n = R_n \sqrt{3}$.Периметр первого треугольника: $P_1 = 3a_1 = 3R_1\sqrt{3} = 3R\sqrt{3}$.В этот треугольник вписана вторая окружность с радиусом $R_2$. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной: $R_2 = \frac{R_1}{2} = \frac{R}{2}$.Эта вторая окружность является описанной для второго треугольника.Периметр второго треугольника: $P_2 = 3a_2 = 3R_2\sqrt{3} = 3\frac{R}{2}\sqrt{3}$.Периметр $n$-го треугольника: $P_n = 3R_n\sqrt{3}$, где $R_n = R(\frac{1}{2})^{n-1}$.Таким образом, периметры треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = P_1 = 3R\sqrt{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.Сумма этой прогрессии: $S_P = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3R\sqrt{3}}{1 - 1/2} = \frac{3R\sqrt{3}}{1/2} = 6R\sqrt{3}$.
Ответ: $6R\sqrt{3}$

2) площадей треугольников

Площадь правильного треугольника со стороной $a_n$: $S_{\triangle n} = \frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}$.Так как $a_n = R_n\sqrt{3}$, то $S_{\triangle n} = \frac{(R_n\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R_n^2\sqrt{3}}{4}$.Площадь первого треугольника ($R_1 = R$): $S_{\triangle 1} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.Площадь второго треугольника ($R_2 = R/2$): $S_{\triangle 2} = \frac{3(R/2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{16}$.Площади треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_{\triangle 1} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ и знаменателем $q = \frac{S_{\triangle 2}}{S_{\triangle 1}} = \frac{1}{4}$.Сумма этой прогрессии: $S_{S\triangle} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{1 - 1/4} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{3/4} = R^2\sqrt{3}$.
Ответ: $R^2\sqrt{3}$

3) длин окружностей

Длина $n$-й окружности: $L_n = 2\pi R_n$.Радиусы окружностей образуют последовательность: $R_1=R, R_2=R/2, R_3=R/4, \dots, R_n = R(\frac{1}{2})^{n-1}$.Длины окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = L_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.Сумма этой прогрессии: $S_L = \frac{b_1}{1-q} = \frac{2\pi R}{1 - 1/2} = \frac{2\pi R}{1/2} = 4\pi R$.
Ответ: $4\pi R$

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями

Площадь $n$-го круга: $S_{\circ n} = \pi R_n^2$.Площадь первого круга: $S_{\circ 1} = \pi R_1^2 = \pi R^2$.Площадь второго круга: $S_{\circ 2} = \pi R_2^2 = \pi (R/2)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$.Площади кругов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_{\circ 1} = \pi R^2$ и знаменателем $q = \frac{S_{\circ 2}}{S_{\circ 1}} = \frac{1}{4}$.Сумма этой прогрессии: $S_{S\circ} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\pi R^2}{1 - 1/4} = \frac{\pi R^2}{3/4} = \frac{4\pi R^2}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi R^2}{3}$