Номер 915, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

915. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для существования суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо, чтобы её знаменатель удовлетворял условию $|q| < 1$.

Члены прогрессии: $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$. Сумма всех членов прогрессии, кроме первого (сумма остальных членов), — это сумма членов $b_2, b_3, b_4, \dots$. Эта последовательность сама является бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член $b_2$, а знаменатель также равен $q$.

Выразим $b_2$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 \cdot q$.

Сумма всех остальных членов ($S_{ост}$) вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S_{ост} = \frac{b_2}{1 - q} = \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$.

Согласно условию задачи, первый член $b_1$ в 1,5 раза больше суммы остальных её членов: $b_1 = 1,5 \cdot S_{ост}$.

Подставим в это уравнение выражение для $S_{ост}$: $b_1 = 1,5 \cdot \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$.

Поскольку речь идет о прогрессии, её первый член $b_1$ не может быть равен нулю (иначе все члены прогрессии равны нулю, и задача теряет смысл). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$: $1 = 1,5 \cdot \frac{q}{1 - q}$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$. Умножим обе части на $(1-q)$: $1 \cdot (1 - q) = 1,5q$.

$1 - q = 1,5q$.

Перенесем слагаемые с $q$ в одну сторону: $1 = 1,5q + q$.

$1 = 2,5q$.

Найдем $q$: $q = \frac{1}{2,5} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$: $|0,4| < 1$. Условие выполняется, следовательно, найденное значение знаменателя является решением задачи.

Ответ: $0,4$.