Номер 908, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

908. (Задача Ферма.)

Покажите, что если $S$ является суммой бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, то $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$.

Пусть $(b_n)$ — бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ существует при условии $|q| < 1$ и вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Нам необходимо доказать тождество:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, подставив в нее формулу для суммы $S$.

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1}{1 - q} - b_1}$

Выполним вычитание в знаменателе дроби:

$\frac{b_1}{1 - q} - b_1 = \frac{b_1 - b_1(1 - q)}{1 - q} = \frac{b_1 - b_1 + b_1q}{1 - q} = \frac{b_1q}{1 - q}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1q}{1 - q}} = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b_1q}$

Сокращаем дробь на $b_1$ и $(1-q)$ (это возможно, так как для нетривиальной прогрессии $b_1 \neq 0$, а для сходящейся прогрессии $q \neq 1$):

$\frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $\frac{b_1}{b_2}$. По определению геометрической прогрессии, ее второй член $b_2$ связан с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ следующим образом:

$b_2 = b_1 \cdot q$

Подставим это выражение в правую часть:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Поскольку и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование левой части равенства $\frac{S}{S - b_1}$ с использованием формулы суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ приводит ее к виду $\frac{1}{q}$. Преобразование правой части $\frac{b_1}{b_2}$ с использованием формулы $b_2 = b_1q$ также приводит ее к виду $\frac{1}{q}$. Так как обе части равны одному и тому же выражению, исходное равенство верно.