Номер 909, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

909. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, а сумма четырёх её первых членов равна $1 \frac{7}{8}$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член искомой бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной прогрессии существовала и была конечной, необходимо выполнение условия $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма бесконечной прогрессии равна 2:
$\frac{b_1}{1-q} = 2$

2. Сумма первых четырёх членов равна $1 \frac{7}{8}$:
$S_4 = \frac{b_1(1-q^4)}{1-q} = 1 \frac{7}{8}$

Мы можем упростить второе уравнение, подставив в него выражение из первого. Заметим, что $S_4$ можно представить как $S_4 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^4)$.

Подставим известные значения $S = \frac{b_1}{1-q} = 2$ и $S_4 = 1 \frac{7}{8} = \frac{15}{8}$:
$\frac{15}{8} = 2 \cdot (1-q^4)$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$1-q^4 = \frac{15}{8 \cdot 2}$
$1-q^4 = \frac{15}{16}$
$q^4 = 1 - \frac{15}{16}$
$q^4 = \frac{1}{16}$

Из этого уравнения следует, что существуют два возможных вещественных значения для знаменателя $q$:
$q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$ или $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$.
Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, поэтому необходимо рассмотреть оба случая.

Теперь для каждого найденного значения $q$ найдем соответствующий первый член $b_1$ из уравнения $\frac{b_1}{1-q} = 2$, откуда $b_1 = 2(1-q)$.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$
$b_1 = 2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Первое возможное решение: первый член равен 1, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$
$b_1 = 2 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2 \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
Второе возможное решение: первый член равен 3, знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: первый член равен 1 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$, или первый член равен 3 и знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.