Страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

900. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,\overline{1}$;

2) $0,\overline{5}$;

3) $0,\overline{24}$;

4) $0,\overline{416}$;

5) $0,2\overline{6}$;

6) $0,6\overline{25}$;

7) $1,\overline{18}$;

8) $2,3\overline{36}$.

Чтобы представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, используется следующий алгоритм:

1. Обозначить периодическую дробь переменной $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр в периоде, чтобы "сдвинуть" период влево на один полный цикл.
3. Если дробь смешанная (есть цифры после запятой, но до периода), то сначала умножить $x$ на $10^m$, где $m$ — количество цифр до периода, а затем выполнить вычитание двух полученных уравнений, чтобы исключить бесконечную часть.
4. Решить полученное уравнение относительно $x$.

1) 0,1111...

Данная дробь является чистой периодической дробью, которую можно записать как $0,(1)$.

Пусть $x = 0,1111...$

Так как в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на 10:

$10x = 1,1111...$

Вычтем из второго равенства первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10x - x = 1,1111... - 0,1111...$

$9x = 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) 0,(5)

Данная дробь $0,(5)$ равна $0,5555...$

Пусть $x = 0,5555...$

В периоде одна цифра, поэтому умножаем на 10:

$10x = 5,5555...$

Вычитаем исходное уравнение:

$10x - x = 5,5555... - 0,5555...$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

3) 0,(24)

Дробь $0,(24)$ равна $0,242424...$

Пусть $x = 0,242424...$

В периоде две цифры, поэтому умножаем на 100:

$100x = 24,242424...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 24,242424... - 0,242424...$

$99x = 24$

$x = \frac{24}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{24 \div 3}{99 \div 3} = \frac{8}{33}$

Ответ: $\frac{8}{33}$

4) 0,416416416...

Данную дробь можно записать как $0,(416)$.

Пусть $x = 0,416416...$

В периоде три цифры, умножаем на 1000:

$1000x = 416,416416...$

Вычитаем исходное уравнение:

$1000x - x = 416,416416... - 0,416416...$

$999x = 416$

$x = \frac{416}{999}$

Ответ: $\frac{416}{999}$

5) 0,2666...

Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,2(6)$.

Пусть $x = 0,2666...$

Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:

$10x = 2,666...$

Умножим исходное равенство на 100, чтобы и непериодическая часть, и первый период оказались слева от запятой:

$100x = 26,666...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 26,666... - 2,666...$

$90x = 24$

$x = \frac{24}{90}$

Сократим дробь на 6:

$x = \frac{24 \div 6}{90 \div 6} = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$

6) 0,6252525...

Это смешанная периодическая дробь $0,6(25)$.

Пусть $x = 0,62525...$

Умножим на 10 (по количеству цифр до периода):

$10x = 6,2525...$

Умножим на 1000 (по количеству цифр до конца первого периода):

$1000x = 625,2525...$

Вычтем из второго равенства первое:

$1000x - 10x = 625,2525... - 6,2525...$

$990x = 619$

$x = \frac{619}{990}$

Ответ: $\frac{619}{990}$

7) 1,181818...

Дробь $1,181818...$ можно записать как $1,(18)$. Выделим целую и дробную части:

$1,(18) = 1 + 0,(18)$

Преобразуем периодическую часть $0,(18)$. Пусть $y = 0,1818...$

В периоде две цифры, умножаем на 100:

$100y = 18,1818...$

Вычитаем $y$:

$100y - y = 18,1818... - 0,1818...$

$99y = 18$

$y = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$

Теперь сложим целую и полученную дробную часть:

$1 + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} + \frac{2}{11} = \frac{13}{11}$

Ответ: $\frac{13}{11}$

8) 2,3(36)

Дробь $2,3(36)$ равна $2,3363636...$. Это смешанная периодическая дробь с целой частью.

Пусть $x = 2,33636...$

Умножим на 10, чтобы до периода не осталось цифр после запятой:

$10x = 23,3636...$

Теперь умножим $10x$ на 100 (так как в периоде две цифры):

$100 \cdot (10x) = 100 \cdot (23,3636...)$

$1000x = 2336,3636...$

Вычтем из второго равенства первое:

$1000x - 10x = 2336,3636... - 23,3636...$

$990x = 2313$

$x = \frac{2313}{990}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($2+3+1+3=9$) и знаменателя ($9+9+0=18$) делится на 9.

$x = \frac{2313 \div 9}{990 \div 9} = \frac{257}{110}$

Ответ: $\frac{257}{110}$

901. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.(2)$;

2) $0.(6)$;

3) $0.(28)$;

4) $0.1(7)$;

5) $3.(45)$;

6) $1.4(12)$.

1) 0,222...
Представим данную бесконечную десятичную периодическую дробь в виде $0,(2)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,222...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 2,222...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$10x - x = 2,222... - 0,222...$
$9x = 2$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

2) 0,666...
Представим данную дробь в виде $0,(6)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,666...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 6,666...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) 0,(28)
Данная дробь $0,(28)$ записывается как $0,282828...$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,282828...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$:
$100x = 28,282828...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 28,282828... - 0,282828...$
$99x = 28$
$x = \frac{28}{99}$
Ответ: $\frac{28}{99}$

4) 0,1777...
Представим данную дробь в виде $0,1(7)$. Это смешанная периодическая дробь.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,1777...$
Умножим обе части на 10, чтобы непериодическая часть (1) оказалась слева от запятой:
$10x = 1,777...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$100x = 17,777...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100x - 10x = 17,777... - 1,777...$
$90x = 16$
$x = \frac{16}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{8}{45}$
Ответ: $\frac{8}{45}$

5) 3,454545...
Представим данную дробь в виде $3,(45)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 3,454545...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 345,454545...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 345,454545... - 3,454545...$
$99x = 342$
$x = \frac{342}{99}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $3+4+2=9$, и сумма цифр знаменателя $9+9=18$. Оба числа делятся на 9:
$x = \frac{342 \div 9}{99 \div 9} = \frac{38}{11}$
Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{5}{11}$.
Ответ: $\frac{38}{11}$

6) 1,4(12)
Данная дробь $1,4(12)$ записывается как $1,4121212...$. Это смешанная периодическая дробь.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 1,4121212...$
Умножим обе части на 10, чтобы непериодическая часть (4) оказалась слева от запятой:
$10x = 14,121212...$
Теперь умножим исходное уравнение на 1000 (на 10 из-за непериодической части и еще на 100 из-за двух цифр в периоде), чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$1000x = 1412,121212...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$1000x - 10x = 1412,121212... - 14,121212...$
$990x = 1398$
$x = \frac{1398}{990}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 1398 и 990 равен 6.
$x = \frac{1398 \div 6}{990 \div 6} = \frac{233}{165}$
Ответ: $\frac{233}{165}$

902. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, ...$

2) $3\sqrt{3}, 3, \sqrt{3}, ...$

3) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, 1, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, ...$

1) Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула верна при условии, что модуль знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$.

Для прогрессии $\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \dots$ имеем:
Первый член $b_1 = \sqrt{2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$.

Проверим, выполняется ли условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Условие $|q| < 1$ выполнено, значит, сумму найти можно.

Вычисляем сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

Упростим полученное выражение:
$S = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2}-1)$:
$S = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2\sqrt{2}-2$.

Ответ: $2\sqrt{2}-2$.

2) Для прогрессии $3\sqrt{3}, 3, \sqrt{3}, \dots$ определим первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = 3\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим условие сходимости $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие выполняется.

Найдем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{3\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$.

Ответ: $\frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$.

3) Для прогрессии $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, 1, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, \dots$ найдем первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Упростим его, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$b_1 = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Упростим выражение для $q$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$:
$q = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$.

Проверим условие сходимости $|q| < 1$:
$|q| = |2-\sqrt{3}|$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$ (поскольку $1^2=1, (\sqrt{3})^2=3, 2^2=4$), то $0 < 2-\sqrt{3} < 1$. Условие выполняется.

Вычисляем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{2+\sqrt{3}}{1 - (2-\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.

Вновь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}+2\cdot1+(\sqrt{3})^2+\sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{2\sqrt{3}+2+3+\sqrt{3}}{3-1} = \frac{5+3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$.

903. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $1$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, ...

2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, ...

1) Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, воспользуемся формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула применима только в случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Дана прогрессия: $\sqrt{\frac{3}{2}}, 1, \sqrt{\frac{2}{3}}, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\sqrt{\frac{2}{3}}| = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Так как $2 < 3$, то дробь $\frac{2}{3} < 1$, и, следовательно, $\sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Условие выполняется, значит, сумма существует.

Теперь подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Чтобы разделить дроби, умножим первую на перевернутую вторую:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3}{\sqrt{6}-2}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6}+2)$:

$S = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{2}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{6}+2)}{2}$

2) Дана прогрессия: $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, \frac{1}{2-\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \dots$

Для нахождения суммы также воспользуемся формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Сначала упростим первый член прогрессии $b_1$, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого разделим третий член $b_3$ на второй $b_2$, так как это проще.

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $b_3 = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2-\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot (2-\sqrt{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{2-\sqrt{2}}{2}| = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{2-1.414}{2} = \frac{0.586}{2} = 0.293$. Так как $0 < 0.293 < 1$, условие выполняется.

Найдем сумму прогрессии, подставив $b_1 = 3+2\sqrt{2}$ и $q = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$ в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1 - \frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{2-(2-\sqrt{2})}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{2-2+\sqrt{2}}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим полученное выражение:

$S = (3+2\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{(6+4\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}+4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{6\sqrt{2}+8}{2} = \frac{2(3\sqrt{2}+4)}{2} = 4+3\sqrt{2}$

Ответ: $4+3\sqrt{2}$

904. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 63, а знаменатель равен $4/9$.

Для нахождения первого члена бесконечной геометрической прогрессии используется формула ее суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — ее первый член, а $q$ — знаменатель. Формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$).

В данной задаче известны следующие величины:

Сумма $S = 63$.

Знаменатель $q = \frac{4}{9}$.

Проверим условие сходимости: $|\frac{4}{9}| = \frac{4}{9} < 1$. Условие выполняется, следовательно, мы можем использовать формулу суммы.

Чтобы найти первый член $b_1$, выразим его из формулы:

$b_1 = S \cdot (1 - q)$

Подставим известные значения в это выражение:

$b_1 = 63 \cdot (1 - \frac{4}{9})$

Выполним вычисления:

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$b_1 = 63 \cdot \frac{5}{9}$

$b_1 = \frac{63 \cdot 5}{9} = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: 35.

905. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -60, а её первый член равен -65. Найдите знаменатель прогрессии.

Для нахождения знаменателя бесконечной геометрической прогрессии используется формула её суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула справедлива только для сходящейся прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$).

По условию задачи нам известны следующие величины:

• Сумма прогрессии $S = -60$.
• Первый член прогрессии $b_1 = -65$.

Подставим известные значения в формулу суммы: $-60 = \frac{-65}{1 - q}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $q$. Для этого умножим обе части уравнения на выражение $(1 - q)$: $-60 \cdot (1 - q) = -65$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $-60 + 60q = -65$

Перенесем число $-60$ из левой части в правую, изменив его знак: $60q = -65 + 60$ $60q = -5$

Чтобы найти $q$, разделим обе части уравнения на 60: $q = \frac{-5}{60}$

Сократим полученную дробь на 5: $q = -\frac{1}{12}$

Проверим выполнение условия сходимости прогрессии: $|q| < 1$. $|-\frac{1}{12}| = \frac{1}{12}$. Так как $\frac{1}{12} < 1$, условие выполняется. Следовательно, найденный знаменатель корректен.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.

906. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_3 = 4, b_5 = 2;$

2) $b_1 + b_3 = 20, b_2 + b_4 = \frac{20}{3}.$

1)

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только при условии $|q| < 1$.

Нам даны третий и пятый члены прогрессии: $b_3 = 4$ и $b_5 = 2$. Воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, чтобы найти знаменатель $q$. $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.

Подставим известные значения: $2 = 4 \cdot q^2$ $q^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя: $q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $q_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. В обоих случаях модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=3$ имеем $b_3 = b_1 \cdot q^2$. $4 = b_1 \cdot \frac{1}{2}$ $b_1 = 4 \cdot 2 = 8$.

Теперь мы можем вычислить сумму для каждого из двух возможных значений $q$.

Случай 1: $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$: $S_1 = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{2-1} = 16 + 8\sqrt{2}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}-1)$: $S_2 = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{8(2-\sqrt{2})}{2-1} = 16 - 8\sqrt{2}$.

Ответ: $16 + 8\sqrt{2}$ или $16 - 8\sqrt{2}$.

2)

Даны два условия: $b_1 + b_3 = 20$ и $b_2 + b_4 = \frac{20}{3}$. Выразим все члены прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$: $b_2 = b_1 q$ $b_3 = b_1 q^2$ $b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему: $\begin{cases} b_1 + b_1 q^2 = 20 \\ b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3} \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки: $\begin{cases} b_1 (1 + q^2) = 20 & (1) \\ b_1 q (1 + q^2) = \frac{20}{3} & (2) \end{cases}$

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1). Так как правая часть уравнения (1) не равна нулю, то и $b_1(1+q^2) \neq 0$, поэтому деление возможно. $\frac{b_1 q (1 + q^2)}{b_1 (1 + q^2)} = \frac{20/3}{20}$ $q = \frac{1}{3}$

Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей и ее сумма существует.

Подставим найденное значение $q$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b_1$: $b_1 (1 + (\frac{1}{3})^2) = 20$ $b_1 (1 + \frac{1}{9}) = 20$ $b_1 (\frac{10}{9}) = 20$ $b_1 = 20 \cdot \frac{9}{10} = 18$

Теперь мы можем найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$.

Ответ: $27$.

907. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_2 = 54, b_5 = 2;$

2) $b_2 - b_4 = 48, b_1 - b_3 = 240.$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только для сходящейся прогрессии, у которой знаменатель $|q| < 1$.

1) Дано: $b_2 = 54$, $b_5 = 2$.

Для нахождения суммы прогрессии необходимо найти её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Выразим $b_5$ через $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} = b_2 \cdot q^3$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:

$2 = 54 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Теперь найдем первый член $b_1$, используя известное значение $b_2$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$54 = b_1 \cdot \frac{1}{3}$

$b_1 = 54 \cdot 3 = 162$.

Наконец, вычислим сумму прогрессии по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 81 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243.

2) Дано: $b_2 - b_4 = 48$, $b_1 - b_3 = 240$.

Запишем данные условия через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Получим систему двух уравнений:

$\begin{cases} b_1q - b_1q^3 = 48 \\ b_1 - b_1q^2 = 240 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 - q^2) = 48 \\ b_1(1 - q^2) = 240 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Так как $b_1(1-q^2) = 240 \neq 0$, такое деление возможно.

$\frac{b_1q(1 - q^2)}{b_1(1 - q^2)} = \frac{48}{240}$

После сокращения получаем:

$q = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Подставим найденное значение $q$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b_1$:

$b_1(1 - q^2) = 240$

$b_1(1 - (\frac{1}{5})^2) = 240$

$b_1(1 - \frac{1}{25}) = 240$

$b_1(\frac{24}{25}) = 240$

$b_1 = 240 \cdot \frac{25}{24} = 10 \cdot 25 = 250$.

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{250}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{250}{\frac{4}{5}} = 250 \cdot \frac{5}{4} = \frac{1250}{4} = \frac{625}{2} = 312,5$.

Ответ: 312,5.

908. (Задача Ферма.)

Покажите, что если $S$ является суммой бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, то $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$.

Пусть $(b_n)$ — бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ существует при условии $|q| < 1$ и вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Нам необходимо доказать тождество:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, подставив в нее формулу для суммы $S$.

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1}{1 - q} - b_1}$

Выполним вычитание в знаменателе дроби:

$\frac{b_1}{1 - q} - b_1 = \frac{b_1 - b_1(1 - q)}{1 - q} = \frac{b_1 - b_1 + b_1q}{1 - q} = \frac{b_1q}{1 - q}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1q}{1 - q}} = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b_1q}$

Сокращаем дробь на $b_1$ и $(1-q)$ (это возможно, так как для нетривиальной прогрессии $b_1 \neq 0$, а для сходящейся прогрессии $q \neq 1$):

$\frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $\frac{b_1}{b_2}$. По определению геометрической прогрессии, ее второй член $b_2$ связан с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ следующим образом:

$b_2 = b_1 \cdot q$

Подставим это выражение в правую часть:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Поскольку и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование левой части равенства $\frac{S}{S - b_1}$ с использованием формулы суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ приводит ее к виду $\frac{1}{q}$. Преобразование правой части $\frac{b_1}{b_2}$ с использованием формулы $b_2 = b_1q$ также приводит ее к виду $\frac{1}{q}$. Так как обе части равны одному и тому же выражению, исходное равенство верно.

909. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, а сумма четырёх её первых членов равна $1 \frac{7}{8}$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член искомой бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной прогрессии существовала и была конечной, необходимо выполнение условия $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма бесконечной прогрессии равна 2:
$\frac{b_1}{1-q} = 2$

2. Сумма первых четырёх членов равна $1 \frac{7}{8}$:
$S_4 = \frac{b_1(1-q^4)}{1-q} = 1 \frac{7}{8}$

Мы можем упростить второе уравнение, подставив в него выражение из первого. Заметим, что $S_4$ можно представить как $S_4 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^4)$.

Подставим известные значения $S = \frac{b_1}{1-q} = 2$ и $S_4 = 1 \frac{7}{8} = \frac{15}{8}$:
$\frac{15}{8} = 2 \cdot (1-q^4)$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$1-q^4 = \frac{15}{8 \cdot 2}$
$1-q^4 = \frac{15}{16}$
$q^4 = 1 - \frac{15}{16}$
$q^4 = \frac{1}{16}$

Из этого уравнения следует, что существуют два возможных вещественных значения для знаменателя $q$:
$q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$ или $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$.
Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, поэтому необходимо рассмотреть оба случая.

Теперь для каждого найденного значения $q$ найдем соответствующий первый член $b_1$ из уравнения $\frac{b_1}{1-q} = 2$, откуда $b_1 = 2(1-q)$.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$
$b_1 = 2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Первое возможное решение: первый член равен 1, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$
$b_1 = 2 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2 \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
Второе возможное решение: первый член равен 3, знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: первый член равен 1 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$, или первый член равен 3 и знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.

910. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 256, а сумма трёх её первых членов равна 252. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии $|q| < 1$). По условию задачи, $S = 256$. Получаем первое уравнение: $\frac{b_1}{1-q} = 256$.

Сумма трёх первых членов прогрессии $S_3$ равна $b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, $S_3 = 252$. Вынесем $b_1$ за скобки и получим второе уравнение: $b_1(1+q+q^2) = 252$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Из первого уравнения выразим $b_1 = 256(1-q)$ и подставим это выражение во второе уравнение: $256(1-q)(1+q+q^2) = 252$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае выражение $(1-q)(1+q+q^2)$ равно $1-q^3$. Тогда уравнение примет вид: $256(1-q^3) = 252$.

Теперь решим это уравнение, чтобы найти знаменатель $q$. $1-q^3 = \frac{252}{256}$. Сократив дробь в правой части на 4, получаем: $1-q^3 = \frac{63}{64}$. Отсюда $q^3 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$. Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, находим $q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$.

Значение $q = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, необходимому для существования суммы бесконечной прогрессии. Теперь найдем первый член $b_1$, используя выражение, полученное из первого уравнения: $b_1 = 256(1-q) = 256(1-\frac{1}{4}) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 64 \cdot 3 = 192$.

Ответ: первый член прогрессии равен 192, а знаменатель равен $\frac{1}{4}$.