Страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

911. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 b_4 = 36$ и $b_3 + b_5 = 8$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

По условию задачи нам дана система уравнений:

$$\begin{cases} b_2 b_4 = 36 \\ b_3 + b_5 = 8\end{cases}$$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$$\begin{cases} (b_1 q)(b_1 q^3) = 36 \\ b_1 q^2 + b_1 q^4 = 8\end{cases}$$

Упростим полученную систему:

$$\begin{cases} b_1^2 q^4 = 36 \\ b_1 q^2 (1+q^2) = 8\end{cases}$$

Из первого уравнения $b_1^2 q^4 = 36$ следует, что $(b_1 q^2)^2 = 36$. Так как третий член прогрессии $b_3 = b_1 q^2$, то получаем $b_3^2 = 36$. Отсюда следует, что $b_3$ может быть равен $6$ или $-6$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b_3 = 6$

Второе уравнение системы можно переписать через $b_3$, так как $b_5 = b_3 q^2$. Получаем $b_3 + b_3 q^2 = 8$. Подставим значение $b_3 = 6$:

$6 + 6q^2 = 8$

$6q^2 = 8 - 6$

$6q^2 = 2$

$q^2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $q_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Оба значения удовлетворяют условию сходимости $|q| < 1$, так как $|\pm\frac{1}{\sqrt{3}}| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Из $b_3 = b_1 q^2 = 6$ и $q^2 = \frac{1}{3}$ имеем:

$b_1 \cdot \frac{1}{3} = 6 \implies b_1 = 18$.

Теперь можем вычислить две возможные суммы прогрессии.

При $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{2} = 9(3+\sqrt{3}) = 27 + 9\sqrt{3}$.

При $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{2} = 9(3-\sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3}$.

Случай 2: $b_3 = -6$

Подставим это значение в уравнение $b_3 + b_3 q^2 = 8$:

$-6 + (-6)q^2 = 8$

$-6(1+q^2) = 8$

$1+q^2 = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$

$q^2 = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{7}{3}$

Данное уравнение не имеет действительных решений для $q$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию задачи, и два возможных значения для их суммы.

Ответ: $27 + 9\sqrt{3}$ и $27 - 9\sqrt{3}$.

912. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(c_n)$, если $c_3 c_5 = 20$ и $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 q^{n-1}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при $|q|<1$) находится по формуле $S = \frac{c_1}{1-q}$.

По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} c_3 c_5 = 20 \\ c_2 + c_4 = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $c_1$ и $q$:

$c_2 = c_1 q$

$c_3 = c_1 q^2$

$c_4 = c_1 q^3$

$c_5 = c_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} (c_1 q^2)(c_1 q^4) = 20 \\ c_1 q + c_1 q^3 = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} c_1^2 q^6 = 20 \\ c_1 q(1+q^2) = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Используя свойство членов геометрической прогрессии $c_{n-k}c_{n+k} = c_n^2$, для $n=4$ и $k=1$ получаем $c_3 c_5 = c_4^2$. Также это можно увидеть из выражения $c_1^2 q^6 = (c_1 q^3)^2 = c_4^2$.

Следовательно, $c_4^2 = 20$, откуда $c_4 = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $c_4 = 2\sqrt{5}$

Подставим это значение во второе исходное уравнение $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$:

$c_2 + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$

$c_2 = 12\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

Теперь, зная $c_2$ и $c_4$, найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем соотношение $c_4 = c_2 \cdot q^2$.

$2\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \cdot q^2$

$q^2 = \frac{2\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = \frac{1}{5}$

Отсюда $q = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ или $q = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Оба значения $q$ удовлетворяют условию сходимости суммы $|q|<1$, так как $|\pm \frac{\sqrt{5}}{5}| < 1$. Поэтому существуют две возможные прогрессии.

Подслучай 1.1: $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем первый член прогрессии $c_1$ из формулы $c_2 = c_1 q$:

$c_1 = \frac{c_2}{q} = \frac{10\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 10\sqrt{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = 50$.

Найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{50}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{50}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}} = \frac{250}{5-\sqrt{5}} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{25-5} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{20} = \frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$.

Подслучай 1.2: $q = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем первый член прогрессии $c_1$:

$c_1 = \frac{c_2}{q} = \frac{10\sqrt{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -50$.

Найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{-50}{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})} = \frac{-50}{1 + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{-50}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}} = \frac{-250}{5+\sqrt{5}} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{20} = \frac{-25(5-\sqrt{5})}{2}$.

Случай 2: $c_4 = -2\sqrt{5}$

Подставим это значение во второе исходное уравнение $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$:

$c_2 - 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$

$c_2 = 14\sqrt{5}$

Найдем $q^2$ из соотношения $c_4 = c_2 \cdot q^2$:

$-2\sqrt{5} = 14\sqrt{5} \cdot q^2$

$q^2 = \frac{-2\sqrt{5}}{14\sqrt{5}} = -\frac{1}{7}$

Уравнение $q^2 = -\frac{1}{7}$ не имеет действительных решений, поэтому этот случай невозможен для прогрессии с действительными членами.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи, и, соответственно, две возможные суммы.

Ответ: $\frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$ или $\frac{-25(5-\sqrt{5})}{2}$.

913. Решите уравнение:

1) $1 + x + x^2 + \dots = 4$, если $|x| < 1$;

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \dots = 1.5$, если $|x| > 1$.

1) $1 + x + x^2 + ... = 4$, если $|x| < 1$

Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = x$.

Условие $|x| < 1$ совпадает с условием сходимости ряда $|q| < 1$, поэтому мы можем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения в формулу: $4 = \frac{1}{1 - x}$

Теперь решим полученное уравнение: $4(1 - x) = 1$ $4 - 4x = 1$ $4x = 4 - 1$ $4x = 3$ $x = \frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| < 1$: $|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$, и так как $\frac{3}{4} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - ... = 1,5$, если $|x| > 1$

Левая часть уравнения также является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{x}$.

Проверим условие сходимости ряда $|q| < 1$. В нашем случае это $|-\frac{1}{x}| < 1$, что эквивалентно $\frac{1}{|x|} < 1$. По условию задачи $|x| > 1$, следовательно, $\frac{1}{|x|} < 1$. Условие сходимости выполняется, и мы можем применить формулу суммы. $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения, учитывая что $1,5 = \frac{3}{2}$: $\frac{3}{2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})}$ $\frac{3}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ $\frac{3}{2} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}}$ $\frac{3}{2} = \frac{x}{x+1}$

Решим полученное уравнение методом пропорции: $3(x+1) = 2x$ $3x + 3 = 2x$ $3x - 2x = -3$ $x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| > 1$: $|-3| = 3$, и так как $3 > 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = -3$

914. Решите уравнение $1 - x^2 + x^4 - ... = \frac{16}{17}$, если $|x| < 1$.

Данное уравнение представляет собой равенство, где в левой части находится сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это можно заключить из вида слагаемых: $1, -x^2, x^4, \dots$

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{-x^2}{1} = -x^2$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Эта формула применима только при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Проверим выполнение этого условия. В задаче дано, что $|x| < 1$. Найдем модуль знаменателя нашей прогрессии:

$|q| = |-x^2| = |x^2| = x^2$.

Поскольку по условию $|x| < 1$, то возведение в квадрат обеих частей этого неравенства дает $x^2 < 1$. Таким образом, условие $|q| < 1$ выполнено, и мы можем использовать формулу для суммы.

Подставим значения $b_1 = 1$ и $q = -x^2$ в формулу суммы:

$S = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Теперь мы можем заменить левую часть исходного уравнения на полученное выражение:

$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{16}{17}$.

Решим полученное уравнение относительно $x$. Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot 17 = 16 \cdot (1 + x^2)$

$17 = 16 + 16x^2$

Вычтем 16 из обеих частей уравнения:

$1 = 16x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x = \pm\frac{1}{4}$

Получили два решения: $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$. Оба корня удовлетворяют исходному условию $|x| < 1$, так как $|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$ и $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$.

Ответ: $x = \pm\frac{1}{4}$.

915. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для существования суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо, чтобы её знаменатель удовлетворял условию $|q| < 1$.

Члены прогрессии: $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$. Сумма всех членов прогрессии, кроме первого (сумма остальных членов), — это сумма членов $b_2, b_3, b_4, \dots$. Эта последовательность сама является бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член $b_2$, а знаменатель также равен $q$.

Выразим $b_2$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 \cdot q$.

Сумма всех остальных членов ($S_{ост}$) вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S_{ост} = \frac{b_2}{1 - q} = \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$.

Согласно условию задачи, первый член $b_1$ в 1,5 раза больше суммы остальных её членов: $b_1 = 1,5 \cdot S_{ост}$.

Подставим в это уравнение выражение для $S_{ост}$: $b_1 = 1,5 \cdot \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$.

Поскольку речь идет о прогрессии, её первый член $b_1$ не может быть равен нулю (иначе все члены прогрессии равны нулю, и задача теряет смысл). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$: $1 = 1,5 \cdot \frac{q}{1 - q}$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$. Умножим обе части на $(1-q)$: $1 \cdot (1 - q) = 1,5q$.

$1 - q = 1,5q$.

Перенесем слагаемые с $q$ в одну сторону: $1 = 1,5q + q$.

$1 = 2,5q$.

Найдем $q$: $q = \frac{1}{2,5} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$: $|0,4| < 1$. Условие выполняется, следовательно, найденное значение знаменателя является решением задачи.

Ответ: $0,4$.

916. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии была конечной (сходилась), необходимо, чтобы модуль её знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма двух первых членов прогрессии ($S_2$) равна:$S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$

Остальные члены прогрессии, начиная с третьего ($b_3, b_4, b_5, \dots$), также образуют бесконечную геометрическую прогрессию. У этой новой прогрессии первый член равен $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель остаётся тем же — $q$.Сумма этих остальных членов ($S_{ост}$) вычисляется по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:$S_{ост} = \frac{\text{первый член}}{1 - \text{знаменатель}} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$

По условию задачи, сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных её членов. Запишем это в виде уравнения:$S_2 = 8 \cdot S_{ост}$

Подставим выражения для $S_2$ и $S_{ост}$:$b_1(1+q) = 8 \cdot \frac{b_1q^2}{1-q}$

Так как прогрессия нетривиальна, её первый член $b_1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Поскольку $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $(1-q)$, чтобы избавиться от знаменателя:$(1+q)(1-q) = 8q^2$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к левой части уравнения:$1 - q^2 = 8q^2$

Решим полученное уравнение относительно $q$:$1 = 8q^2 + q^2$$1 = 9q^2$$q^2 = \frac{1}{9}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:$q_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$ и $|-\frac{1}{3}| < 1$. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

Рис. 108

917. В квадрат со стороной $a$ вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 108). Найдите сумму площадей всех квадратов.

916.

Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Условие сходимости суммы бесконечной геометрической прогрессии: $|q| < 1$.

Сумма двух первых членов прогрессии равна $S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$.

Сумма остальных её членов (начиная с третьего) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель также равен $q$. Эта сумма равна $S_{ост} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$.

По условию задачи, сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных членов:

$S_2 = 8 \cdot S_{ост}$

$b_1(1+q) = 8 \cdot \frac{b_1q^2}{1-q}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$, разделим обе части уравнения на $b_1$:

$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части на $(1-q)$:

$(1+q)(1-q) = 8q^2$

$1 - q^2 = 8q^2$

$1 = 9q^2$

$q^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии:

$q_1 = \frac{1}{3}$ и $q_2 = -\frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.

917.

Пусть сторона первого (самого большого) квадрата равна $a_1 = a$. Его площадь $A_1 = a_1^2 = a^2$.

Вершины второго квадрата являются серединами сторон первого. Сторона второго квадрата, $a_2$, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половине стороны первого квадрата, то есть $\frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$a_2^2 = (\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{a_1}{2})^2 = \frac{a_1^2}{4} + \frac{a_1^2}{4} = \frac{a_1^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Площадь второго квадрата равна $A_2 = a_2^2 = \frac{a^2}{2}$.

Аналогично, площадь третьего квадрата $A_3$ будет в два раза меньше площади второго квадрата $A_2$:

$A_3 = \frac{A_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Таким образом, площади квадратов образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $A_1 = a^2$ и знаменателем $q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Сумму всех площадей найдем по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{A_1}{1-q}$:

$S = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.

918.

Пусть $R_n$ — радиус $n$-й окружности, а $a_n$ — сторона $n$-го правильного треугольника. По условию, радиус первой окружности $R_1 = R$. В эту окружность вписан первый треугольник. Сторона правильного треугольника $a$, вписанного в окружность радиуса $R_{окр}$, связана с радиусом соотношением $a = R_{окр}\sqrt{3}$. Значит, сторона первого треугольника $a_1 = R_1\sqrt{3} = R\sqrt{3}$.

В этот треугольник вписана вторая окружность. Радиус окружности $R_{вп}$, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $R_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Значит, радиус второй окружности $R_2 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}$.

Мы видим, что радиус каждой следующей окружности в 2 раза меньше радиуса предыдущей: $R_{n+1} = \frac{R_n}{2}$. Следовательно, радиусы окружностей образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $R_1=R$ и знаменателем $q_R = \frac{1}{2}$.

Сторона каждого следующего треугольника также в 2 раза меньше стороны предыдущего: $a_{n+1} = R_{n+1}\sqrt{3} = \frac{R_n}{2}\sqrt{3} = \frac{a_n/\sqrt{3}}{2}\sqrt{3} = \frac{a_n}{2}$. Стороны треугольников образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем $q_a = \frac{1}{2}$.

а) сумма периметров всех треугольников

Периметр $n$-го треугольника $P_n = 3a_n$. Периметры образуют геометрическую прогрессию с первым членом $P_1 = 3a_1 = 3R\sqrt{3}$ и знаменателем $q_P = q_a = \frac{1}{2}$.

Сумма периметров: $S_P = \frac{P_1}{1-q_P} = \frac{3R\sqrt{3}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3R\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 6R\sqrt{3}$.

Ответ: $6R\sqrt{3}$.

б) сумма площадей всех треугольников

Площадь $n$-го треугольника $A_{Tn} = \frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}$. Площади образуют геометрическую прогрессию с первым членом $A_{T1} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ и знаменателем $q_{AT} = q_a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей: $S_{AT} = \frac{A_{T1}}{1-q_{AT}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}} = R^2\sqrt{3}$.

Ответ: $R^2\sqrt{3}$.

в) сумма длин всех окружностей

Длина $n$-й окружности $L_n = 2\pi R_n$. Длины образуют геометрическую прогрессию с первым членом $L_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R$ и знаменателем $q_L = q_R = \frac{1}{2}$.

Сумма длин: $S_L = \frac{L_1}{1-q_L} = \frac{2\pi R}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2\pi R}{\frac{1}{2}} = 4\pi R$.

Ответ: $4\pi R$.

г) сумма площадей всех кругов

Площадь $n$-го круга $A_{Cn} = \pi R_n^2$. Площади кругов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $A_{C1} = \pi R_1^2 = \pi R^2$ и знаменателем $q_{AC} = q_R^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей: $S_{AC} = \frac{A_{C1}}{1-q_{AC}} = \frac{\pi R^2}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\pi R^2}{\frac{3}{4}} = \frac{4\pi R^2}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi R^2}{3}$.

918. В окружность радиуса $R$ вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех треугольников;

2) площадей треугольников;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

1) периметров всех треугольников

Пусть $R_1 = R$ — радиус первой (самой большой) окружности. В нее вписан правильный треугольник со стороной $a_1$. Связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного треугольника: $a_n = R_n \sqrt{3}$.Периметр первого треугольника: $P_1 = 3a_1 = 3R_1\sqrt{3} = 3R\sqrt{3}$.В этот треугольник вписана вторая окружность с радиусом $R_2$. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной: $R_2 = \frac{R_1}{2} = \frac{R}{2}$.Эта вторая окружность является описанной для второго треугольника.Периметр второго треугольника: $P_2 = 3a_2 = 3R_2\sqrt{3} = 3\frac{R}{2}\sqrt{3}$.Периметр $n$-го треугольника: $P_n = 3R_n\sqrt{3}$, где $R_n = R(\frac{1}{2})^{n-1}$.Таким образом, периметры треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = P_1 = 3R\sqrt{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.Сумма этой прогрессии: $S_P = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3R\sqrt{3}}{1 - 1/2} = \frac{3R\sqrt{3}}{1/2} = 6R\sqrt{3}$.
Ответ: $6R\sqrt{3}$

2) площадей треугольников

Площадь правильного треугольника со стороной $a_n$: $S_{\triangle n} = \frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}$.Так как $a_n = R_n\sqrt{3}$, то $S_{\triangle n} = \frac{(R_n\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R_n^2\sqrt{3}}{4}$.Площадь первого треугольника ($R_1 = R$): $S_{\triangle 1} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.Площадь второго треугольника ($R_2 = R/2$): $S_{\triangle 2} = \frac{3(R/2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{16}$.Площади треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_{\triangle 1} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ и знаменателем $q = \frac{S_{\triangle 2}}{S_{\triangle 1}} = \frac{1}{4}$.Сумма этой прогрессии: $S_{S\triangle} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{1 - 1/4} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{3/4} = R^2\sqrt{3}$.
Ответ: $R^2\sqrt{3}$

3) длин окружностей

Длина $n$-й окружности: $L_n = 2\pi R_n$.Радиусы окружностей образуют последовательность: $R_1=R, R_2=R/2, R_3=R/4, \dots, R_n = R(\frac{1}{2})^{n-1}$.Длины окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = L_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.Сумма этой прогрессии: $S_L = \frac{b_1}{1-q} = \frac{2\pi R}{1 - 1/2} = \frac{2\pi R}{1/2} = 4\pi R$.
Ответ: $4\pi R$

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями

Площадь $n$-го круга: $S_{\circ n} = \pi R_n^2$.Площадь первого круга: $S_{\circ 1} = \pi R_1^2 = \pi R^2$.Площадь второго круга: $S_{\circ 2} = \pi R_2^2 = \pi (R/2)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$.Площади кругов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_{\circ 1} = \pi R^2$ и знаменателем $q = \frac{S_{\circ 2}}{S_{\circ 1}} = \frac{1}{4}$.Сумма этой прогрессии: $S_{S\circ} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\pi R^2}{1 - 1/4} = \frac{\pi R^2}{3/4} = \frac{4\pi R^2}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi R^2}{3}$

919. В квадрат со стороной $a$ вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех квадратов;

2) площадей квадратов;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Пусть $a_n$ — сторона n-го квадрата, а $r_n$ — радиус n-й окружности. По условию, сторона первого квадрата $a_1 = a$.

Окружность $C_n$ вписана в квадрат $Q_n$. Диаметр этой окружности равен стороне квадрата, поэтому её радиус $r_n = \frac{a_n}{2}$.

Квадрат $Q_{n+1}$ вписан в окружность $C_n$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности: $a_{n+1}\sqrt{2} = 2r_n$. Отсюда сторона $(n+1)$-го квадрата $a_{n+1} = \frac{2r_n}{\sqrt{2}} = r_n\sqrt{2}$.

Теперь установим связь между сторонами и радиусами в последовательностях.

Для сторон квадратов: $a_{n+1} = r_n\sqrt{2} = \frac{a_n}{2}\sqrt{2} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}$. Это показывает, что последовательность сторон квадратов $\{a_n\}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для радиусов окружностей: $r_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{2} = \frac{r_n\sqrt{2}}{2} = \frac{r_n}{\sqrt{2}}$. Последовательность радиусов $\{r_n\}$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находим по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1) периметров всех квадратов;

Периметр n-го квадрата равен $P_n = 4a_n$. Последовательность периметров $\{P_n\}$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $P_1 = 4a_1 = 4a$ и знаменателем $q_P = \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{4a_{n+1}}{4a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма периметров всех квадратов: $S_P = \frac{P_1}{1-q_P} = \frac{4a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2}+1)$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $S_P = \frac{4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{4a(2+\sqrt{2})}{2-1} = 4a(2+\sqrt{2})$.

Ответ: $4a(2+\sqrt{2})$.

2) площадей квадратов;

Площадь n-го квадрата равна $S_{Q_n} = a_n^2$. Последовательность площадей $\{S_{Q_n}\}$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $S_{Q_1} = a_1^2 = a^2$ и знаменателем $q_S = \frac{S_{Q_{n+1}}}{S_{Q_n}} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = (\frac{a_{n+1}}{a_n})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

Сумма площадей всех квадратов: $S_{SQ} = \frac{S_{Q_1}}{1-q_S} = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.

3) длин окружностей;

Длина n-й окружности (её circumference) равна $L_n = 2\pi r_n$. Последовательность длин окружностей $\{L_n\}$ — это геометрическая прогрессия. Первый член $L_1 = 2\pi r_1 = 2\pi \frac{a}{2} = \pi a$. Знаменатель $q_L = \frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{2\pi r_{n+1}}{2\pi r_n} = \frac{r_{n+1}}{r_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма длин всех окружностей: $S_L = \frac{L_1}{1-q_L} = \frac{\pi a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.

Избавляемся от иррациональности в знаменателе: $S_L = \frac{\pi a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\pi a(2+\sqrt{2})}{2-1} = \pi a(2+\sqrt{2})$.

Ответ: $\pi a(2+\sqrt{2})$.

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Площадь n-го круга равна $S_{C_n} = \pi r_n^2$. Последовательность площадей $\{S_{C_n}\}$ — это геометрическая прогрессия. Первый член $S_{C_1} = \pi r_1^2 = \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Знаменатель $q_{SC} = \frac{S_{C_{n+1}}}{S_{C_n}} = \frac{\pi r_{n+1}^2}{\pi r_n^2} = (\frac{r_{n+1}}{r_n})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

Сумма площадей всех кругов: $S_{SC} = \frac{S_{C_1}}{1-q_{SC}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi a^2}{4} \cdot 2 = \frac{\pi a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{2}$.

920. Постройте график функции $y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \ldots$, где $x \ne 0$.

Данная функция $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Заметим, что все члены ряда, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию. Однако удобнее вынести общий множитель $x^2$ за скобки:$y = x^2 \left( 1 + \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{(1+x^2)^2} + ... \right)$

Выражение в скобках является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Определим её параметры:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{1+x^2}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, если ее знаменатель по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие для нашей функции.По условию задачи $x \neq 0$, поэтому $x^2 > 0$.Следовательно, знаменатель дроби $1+x^2 > 1$.Отсюда получаем, что $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$.Таким образом, условие $|q| < 1$ выполняется для всех $x \neq 0$.

Сумму $S$ этой прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{(1+x^2) - 1}{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{x^2}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{x^2}$

Теперь подставим найденную сумму обратно в выражение для функции $y$:$y = x^2 \cdot S = x^2 \cdot \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем сократить $x^2$ в числителе и знаменателе:$y = 1+x^2$

Таким образом, исходная функция для всех $x \neq 0$ совпадает с функцией $y = 1+x^2$.Графиком функции $y = 1+x^2$ является парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$.Однако, из-за исходного условия $x \neq 0$, точка на графике, соответствующая $x=0$, должна быть исключена. Найдем координаты этой точки:При $x=0$, $y = 1+0^2 = 1$.Значит, точка $(0, 1)$ не принадлежит графику функции. Эта точка является вершиной параболы.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = 1+x^2$ с выколотой точкой в её вершине $(0, 1)$.

921. Постройте график функции $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \ldots$, где $x > 0$.

Данная функция $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$ определена при $x > 0$. Она состоит из слагаемого $\sqrt{x}$ и суммы бесконечного ряда. Рассмотрим этот ряд:

$S = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^3} + ...$

Этот ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$.

Знаменатель прогрессии равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1+\sqrt{x}}$.

Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо убедиться, что она сходится. Условие сходимости: $|q| < 1$.

В нашем случае, по условию задачи $x > 0$, значит $\sqrt{x} > 0$. Следовательно, знаменатель $1 + \sqrt{x} > 1$.

Отсюда для $q$ получаем: $0 < q = \frac{1}{1+\sqrt{x}} < 1$.

Так как условие $|q| < 1$ выполняется для всех $x > 0$, мы можем найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{(1+\sqrt{x}) - 1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = 1$.

Таким образом, бесконечная сумма равна 1. Теперь мы можем записать исходную функцию в упрощенном виде:

$y = \sqrt{x} + S = \sqrt{x} + 1$.

Теперь построим график функции $y = \sqrt{x} + 1$ с областью определения $x > 0$.

График функции $y = \sqrt{x} + 1$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 1 единицу вверх по оси ординат (Oy).

Базовый график $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Соответственно, график $y = \sqrt{x} + 1$ — это такая же ветвь параболы, но с вершиной в точке $(0, 1)$.

Важным моментом является условие $x > 0$. Это означает, что точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит графику. Предельное значение функции при $x \to 0^+$ равно $y = \sqrt{0} + 1 = 1$. Следовательно, точка $(0, 1)$ является "выколотой" точкой на графике.

Для более точного построения найдем несколько контрольных точек, принадлежащих графику. Например: при $x=1$, $y = \sqrt{1} + 1 = 2$, получаем точку $(1, 2)$; при $x=4$, $y = \sqrt{4} + 1 = 3$, получаем точку $(4, 3)$; при $x=9$, $y = \sqrt{9} + 1 = 4$, получаем точку $(9, 4)$.

График функции начинается из выколотой точки $(0, 1)$ и плавно возрастает, проходя через точки $(1, 2)$, $(4, 3)$ и т.д., уходя в бесконечность вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$ при $x > 0$ является график функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это стандартная ветвь параболы $y = \sqrt{x}$, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Точка $(0, 1)$ является выколотой.