Страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколькими способами можно расставить в очереди 6 человек?

1.

Эта задача заключается в нахождении количества всех возможных способов упорядочить 6 различных объектов (в данном случае, людей). В комбинаторике такие упорядоченные наборы называются перестановками.

Чтобы найти общее количество способов, можно рассуждать следующим образом:

• На первое место в очереди можно поставить любого из 6 человек (6 вариантов).
• На второе место — любого из оставшихся 5 человек (5 вариантов).
• На третье место — любого из оставшихся 4 человек (4 варианта).
• На четвертое — 3 варианта.
• На пятое — 2 варианта.
• На последнее, шестое, место останется только один человек (1 вариант).

Общее число способов равно произведению вариантов для каждого места. Это произведение называется факториалом числа 6 и обозначается как $6!$.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

Для $n=6$ получаем:

$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Таким образом, существует 720 различных способов расставить 6 человек в очереди.

Ответ: 720

2. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно — нахождения числа перестановок. Нам нужно распределить 20 уникальных учителей по 20 уникальным классам так, чтобы каждому классу соответствовал один учитель, и наоборот.

Рассмотрим процесс назначения классных руководителей по шагам:

1. Для первого класса можно выбрать любого из 20 учителей. Таким образом, есть 20 вариантов.

2. После того, как для первого класса назначен руководитель, остается 19 учителей. Значит, для второго класса существует 19 вариантов выбора.

3. Для третьего класса остается 18 учителей, что дает 18 вариантов.

4. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, 20-го класса. Для него останется только один учитель, то есть всего 1 вариант.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов распределения равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Такое произведение называется факториалом числа 20 и обозначается как $20!$.

В общем виде, количество способов упорядочить $n$ различных элементов (число перестановок) вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=20$, поэтому искомое число способов равно:

$P_{20} = 20! = 2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$

Ответ: $20!$

3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом числе все цифры были различными?

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько уникальных последовательностей из 5 цифр можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Поскольку все цифры в итоговом пятизначном числе должны быть различными, и мы используем все 5 предоставленных цифр, эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "n факториал"), где $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$.
В данном случае у нас 5 цифр, то есть $n=5$.

Можно рассуждать и по-другому, рассматривая каждую позицию в пятизначном числе:
- На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно выбрать любую из 5 цифр.
- После выбора первой цифры, для второй позиции (разряд тысяч) останется 4 доступные цифры.
- Для третьей позиции (разряд сотен) останется 3 доступные цифры.
- Для четвертой позиции (разряд десятков) останется 2 доступные цифры.
- Для пятой позиции (разряд единиц) останется последняя, 1 цифра.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
Количество чисел = $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!$

Вычислим значение факториала:
$5! = 120$

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 120 пятизначных чисел, в которых все цифры различны.

Ответ: 120.

4. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4} при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Ключевым моментом является то, что пятизначное число не может начинаться с цифры 0.

Рассмотрим задачу двумя способами.

Способ 1: Метод перемножения вариантов

Представим пятизначное число как пять позиций, которые нужно заполнить: _ _ _ _ _

• Первая цифра (разряд десятков тысяч): На эту позицию нельзя ставить 0. Следовательно, мы можем выбрать любую из 4-х цифр: {1, 2, 3, 4}. Количество вариантов: 4.
• Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходных пяти цифр осталось четыре. Теперь мы можем использовать 0. Количество вариантов: 4.
• Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже использованы. Осталось три неиспользованные цифры. Количество вариантов: 3.
• Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры использованы. Осталось две. Количество вариантов: 2.
• Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры использованы. Осталась последняя. Количество вариантов: 1.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции: $N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Способ 2: Метод исключения

Этот метод основан на расчете всех возможных перестановок из данных цифр и последующем исключении тех, которые не удовлетворяют условию задачи.

1. Сначала найдем общее количество перестановок из 5 цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Это число размещений из 5 по 5, или факториал 5: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Теперь найдем количество "неправильных" комбинаций, то есть тех, которые начинаются с 0. Если первая цифра зафиксирована как 0, то нам нужно найти количество перестановок для оставшихся 4-х цифр {1, 2, 3, 4} на 4-х позициях. $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

3. Вычтем из общего числа перестановок количество тех, что начинаются с нуля, чтобы получить количество действительных пятизначных чисел: $N = P_5 - P_4 = 120 - 24 = 96$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96