Страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В 9 классе изучают 15 предметов. Дневное расписание содержит 6 уроков. Сколькими способами можно составить дневное расписание так, чтобы все 6 уроков были разными?

1. Эта задача относится к разделу комбинаторики, а именно к размещениям, поскольку порядок уроков в расписании важен. Нам нужно выбрать 6 разных предметов из 15 и расставить их в определенном порядке.

Для решения можно использовать правило произведения. Рассуждаем последовательно:

- Для первого урока в расписании можно выбрать любой из 15 предметов (15 вариантов).
- Поскольку все уроки должны быть разными, для второго урока остается на выбор 14 предметов (14 вариантов).
- Для третьего урока — 13 вариантов.
- Для четвертого урока — 12 вариантов.
- Для пятого урока — 11 вариантов.
- Для шестого урока — 10 вариантов.

Чтобы найти общее количество способов составить расписание, нужно перемножить количество вариантов для каждого урока:

Количество способов = $15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=15$ (общее число предметов) и $k=6$ (количество уроков в день).

$A_{15}^6 = \frac{15!}{(15-6)!} = \frac{15!}{9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Теперь вычислим произведение:

$15 \cdot 14 = 210$

$210 \cdot 13 = 2730$

$2730 \cdot 12 = 32760$

$32760 \cdot 11 = 360360$

$360360 \cdot 10 = 3 \ 603 \ 600$

Таким образом, существует 3 603 600 способов составить дневное расписание.

Ответ: 3 603 600.

2. В 9 классе 32 учащихся. Каждые двое учащихся обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего было подарено фотографий?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество актов дарения фотографий. В классе 32 ученика, и по условию каждые двое из них обмениваются фотографиями.

Рассмотрим ситуацию с точки зрения одного ученика. Ему нужно подарить свою фотографию каждому из одноклассников. Так как всего в классе 32 человека, то у каждого ученика есть $32 - 1 = 31$ одноклассник. Это означает, что каждый ученик подарит 31 фотографию.

Поскольку в классе 32 ученика, и каждый из них дарит одинаковое количество фотографий (31), мы можем найти общее количество подаренных фотографий, умножив общее число учеников на количество фотографий, которое дарит один ученик.

Общее количество фотографий = (Количество учеников) × (Количество фотографий, подаренных одним учеником).

Подставим значения:

Общее количество фотографий = $32 \times 31$

Выполним вычисление:

$32 \times 31 = 992$

Таким образом, всего было подарено 992 фотографии.

Стоит отметить, что данная задача является классическим примером на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n=32$ и $k=2$. Каждая подаренная фотография — это упорядоченная пара (дарящий, получающий). Число таких пар вычисляется по формуле $A_n^k = n \times (n-1)$, что в нашем случае равно $A_{32}^2 = 32 \times 31 = 992$.

Ответ: 992

3. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 6 человек для участия в математической олимпиаде?

Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний из 25 учащихся по 6, так как порядок выбора учащихся в команду не имеет значения. Если бы мы меняли учеников местами в уже сформированной команде, сама команда от этого не изменилась бы.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее число учащихся $n = 25$, а размер команды $k = 6$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{25}^6 = \frac{25!}{6!(25-6)!} = \frac{25!}{6! \cdot 19!}$

Расшифруем факториалы для проведения вычислений. Выражение $25!$ можно представить как $25 \cdot 24 \cdot ... \cdot 20 \cdot 19!$:

$C_{25}^6 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19!}{ (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 19!}$

Теперь можно сократить $19!$ в числителе и знаменателе:

$C_{25}^6 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Упростим полученное выражение, последовательно сокращая множители:
$C_{25}^6 = 25 \cdot (\frac{24}{6 \cdot 4}) \cdot 23 \cdot (\frac{22}{2}) \cdot (\frac{21}{3}) \cdot (\frac{20}{5})$
$C_{25}^6 = 25 \cdot 1 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 4$
$C_{25}^6 = (25 \cdot 4) \cdot (23 \cdot 7) \cdot 11$
$C_{25}^6 = 100 \cdot 161 \cdot 11$
$C_{25}^6 = 16100 \cdot 11 = 177100$

Таким образом, существует 177 100 способов сформировать команду.

Ответ: 177100.

4. В классе 25 учащихся. Для изучения иностранного языка их надо разбить на две группы: 13 и 12 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Данная задача сводится к нахождению числа способов выбрать 13 учащихся для одной группы из 25. Как только первая группа будет сформирована, вторая группа из оставшихся 12 человек определится автоматически. Поскольку порядок выбора учащихся в группу не важен, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в данном случае, выбор $k$ учеников из $n$) определяется формулой:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учащихся $n=25$, а количество учащихся в первой группе $k=13$. Подставляем эти значения в формулу:

$C_{25}^{13} = \frac{25!}{13!(25-13)!} = \frac{25!}{13!12!}$

Для вычисления этого значения необходимо раскрыть факториалы и сократить дробь:

$C_{25}^{13} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

После выполнения всех сокращений и умножений, мы получаем итоговое число способов.

$C_{25}^{13} = 5\,200\,300$

Стоит отметить, что результат был бы таким же, если бы мы изначально выбирали группу из 12 человек, так как число способов выбрать 12 человек из 25 равно числу способов выбрать 13 человек из 25 ($C_{25}^{12} = C_{25}^{13}$).

Ответ: 5 200 300.

5. На плоскости отметили 12 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Чтобы определить количество треугольников, которые можно составить из 12 точек, нужно найти количество способов выбрать 3 точки из этих 12. Каждая такая тройка точек будет образовывать уникальный треугольник, поскольку по условию никакие три точки не лежат на одной прямой.

Эта задача является комбинаторной и решается с помощью формулы для числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $C_n^k$) показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка выбора.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 12$ — общее количество точек.
• $k = 3$ — количество вершин у треугольника (то есть количество точек, которые нужно выбрать).

Подставляем эти значения в формулу: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Теперь выполним вычисления. Для удобства можно расписать факториалы и сократить: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1}$

$C_{12}^3 = \frac{1320}{6} = 220$

Таким образом, из 12 точек можно образовать 220 различных треугольников.

Ответ: 220

6. На окружности отметили 20 точек. Сколько существует пятиугольников с вершинами в этих точках?

Чтобы найти количество пятиугольников, которые можно составить из 20 точек на окружности, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 точек (вершин) из 20 доступных. Поскольку порядок выбора точек не влияет на сам пятиугольник (т.е. пятиугольник, образованный точками A, B, C, D, E, — это тот же самый, что и образованный точками B, A, C, D, E), эта задача является задачей на нахождение числа сочетаний.

Тот факт, что точки лежат на окружности, гарантирует, что никакие три точки не лежат на одной прямой, поэтому любой набор из 5 точек будет образовывать выпуклый пятиугольник.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n=20$ точек, и нам нужно выбрать $k=5$ вершин для пятиугольника. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^5 = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}$

Распишем и сократим выражение:

$C_{20}^5 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{ (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \cdot 15!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем вычисления, сокращая дроби:

$C_{20}^5 = \frac{20}{5 \times 4} \times \frac{18}{3 \times 2} \times 19 \times 17 \times 16 = 1 \times 3 \times 19 \times 17 \times 16$

$C_{20}^5 = 57 \times 272 = 15504$

Следовательно, из 20 точек на окружности можно образовать 15504 различных пятиугольника.

Ответ: 15504