Номер 6, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. На окружности отметили 20 точек. Сколько существует пятиугольников с вершинами в этих точках?

Чтобы найти количество пятиугольников, которые можно составить из 20 точек на окружности, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 точек (вершин) из 20 доступных. Поскольку порядок выбора точек не влияет на сам пятиугольник (т.е. пятиугольник, образованный точками A, B, C, D, E, — это тот же самый, что и образованный точками B, A, C, D, E), эта задача является задачей на нахождение числа сочетаний.

Тот факт, что точки лежат на окружности, гарантирует, что никакие три точки не лежат на одной прямой, поэтому любой набор из 5 точек будет образовывать выпуклый пятиугольник.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n=20$ точек, и нам нужно выбрать $k=5$ вершин для пятиугольника. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^5 = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}$

Распишем и сократим выражение:

$C_{20}^5 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{ (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \cdot 15!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем вычисления, сокращая дроби:

$C_{20}^5 = \frac{20}{5 \times 4} \times \frac{18}{3 \times 2} \times 19 \times 17 \times 16 = 1 \times 3 \times 19 \times 17 \times 16$

$C_{20}^5 = 57 \times 272 = 15504$

Следовательно, из 20 точек на окружности можно образовать 15504 различных пятиугольника.

Ответ: 15504