Номер 3, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Среди членов спортклуба выбирают наугад одного человека. Событие A состоит в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, а событие $B$ – в том, что он плавает в бассейне. В чём состоит событие, проиллюстрированное на диаграмме (рис. 113)?

Рис. 113

а

б

в

Рис. 113 (окончание)

г

д

В данной задаче рассматриваются события, связанные с выбором члена спортклуба. Обозначим события:

• $A$ – выбранный человек занимается в тренажёрном зале.
• $B$ – выбранный человек плавает в бассейне.

Прямоугольник на диаграммах представляет множество всех членов спортклуба (универсальное множество), а круги A и B – подмножества, соответствующие указанным событиям. Заштрихованная область на каждой диаграмме иллюстрирует новое событие, которое нужно описать.

а)

На диаграмме заштрихована область пересечения кругов A и B. Это означает, что для выбранного человека выполняются оба условия: он занимается в тренажёрном зале и он плавает в бассейне. В теории множеств это событие соответствует пересечению множеств A и B, что обозначается как $A \cap B$ (или произведение событий $A \cdot B$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале и плавает в бассейне.

б)

На диаграмме заштрихована вся область, занимаемая кругами A и B, включая их пересечение. Это означает, что выбранный человек занимается хотя бы одним из этих видов деятельности: или в тренажёрном зале, или в бассейне, или и там, и там. В теории множеств это событие соответствует объединению множеств A и B, что обозначается как $A \cup B$ (или сумма событий $A + B$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале или плавает в бассейне.

в)

На диаграмме заштрихована вся область внутри прямоугольника, за исключением круга A. Это означает, что наступило событие, противоположное событию A. То есть, выбранный человек не занимается в тренажёрном зале. В теории множеств это событие является дополнением к множеству A и обозначается как $\bar{A}$.

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек не занимается в тренажёрном зале.

г)

На диаграмме заштрихована та часть круга A, которая не входит в круг B. Это означает, что событие A произошло, а событие B — нет. То есть, выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но при этом не плавает в бассейне. В теории множеств это событие соответствует разности множеств A и B, что обозначается как $A \setminus B$ (или произведение событий $A \cdot \bar{B}$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но не плавает в бассейне.

д)

На диаграмме заштрихована область вне обоих кругов. Это означает, что не произошло ни событие A, ни событие B. То есть, выбранный человек не занимается в тренажёрном зале и не плавает в бассейне (он может заниматься другими видами спорта в клубе или не заниматься вовсе). В теории множеств это событие является дополнением к объединению множеств A и B, что обозначается как $\overline{A \cup B}$. Согласно законам де Моргана, это эквивалентно $\bar{A} \cap \bar{B}$.

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек не занимается ни в тренажёрном зале, ни в бассейне.