Номер 3, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Вероятность того, что на станке изготовят бракованную деталь, равна 0,1. Какова вероятность того, что из 12 деталей ровно 2 будут бракованными?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях.

Формула Бернулли имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

• $n$ — общее число испытаний (в нашем случае, количество изготовленных деталей);
• $k$ — число наступлений «успешного» события (количество бракованных деталей);
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность изготовления бракованной детали);
• $q$ — вероятность «неудачи» ($q = 1 - p$, то есть вероятность изготовления стандартной детали);
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества $n$. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Общее число испытаний (деталей): $n = 12$.
• Требуемое число бракованных деталей: $k = 2$.
• Вероятность изготовить бракованную деталь: $p = 0,1$.

Сначала найдем вероятность изготовления стандартной (небракованной) детали $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$

Далее вычислим число сочетаний $C_{12}^2$, то есть количество способов, которыми можно выбрать 2 бракованные детали из 12:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 66$

Теперь подставим все найденные значения в формулу Бернулли, чтобы найти вероятность того, что из 12 деталей ровно 2 будут бракованными:

$P_{12}(2) = C_{12}^2 \cdot p^k \cdot q^{n-k} = 66 \cdot (0,1)^2 \cdot (0,9)^{12-2} = 66 \cdot (0,1)^2 \cdot (0,9)^{10}$

Выполним вычисления:

$(0,1)^2 = 0,01$

$(0,9)^{10} \approx 0,34867844$

$P_{12}(2) = 66 \cdot 0,01 \cdot 0,34867844 = 0,66 \cdot 0,34867844 \approx 0,2301277$

Таким образом, искомая вероятность составляет примерно 0,23.

Ответ: $\approx 0,23$