Номер 2, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность, что ровно 5 раз выпадет цифра?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n$ – общее число испытаний, $k$ – число «успешных» исходов, $p$ – вероятность «успеха» в одном испытании, $q = 1-p$ – вероятность «неудачи», а $C_n^k$ – число сочетаний.

В условиях нашей задачи общее число подбрасываний монеты $n = 8$, требуемое число выпадений цифры («успех») $k = 5$, вероятность выпадения цифры при одном броске $p = \frac{1}{2}$, а вероятность невыпадения цифры (выпадения орла) $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Сначала рассчитаем число сочетаний $C_8^5$ — это количество способов, которыми могут выпасть 5 цифр в 8 бросках. $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли. Вероятность того, что цифра выпадет ровно 5 раз, равна: $P_8(5) = C_8^5 \cdot p^5 \cdot q^{8-5} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^5 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 56 \cdot (\frac{1}{2})^{5+3} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^8$.

Вычислим значение выражения: $P_8(5) = 56 \cdot \frac{1}{2^8} = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 56 и знаменателя 256 равен 8: $\frac{56 \div 8}{256 \div 8} = \frac{7}{32}$.

При желании, можно представить ответ в виде десятичной дроби: $7 \div 32 = 0.21875$.

Ответ: $\frac{7}{32}$