Номер 1, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какова вероятность того, что из 4 бросков игрального кубика единица выпадет ровно 2 раза?

1. Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз.

Формула Бернулли выглядит так:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

В данной задаче:

$n = 4$ – общее количество бросков игрального кубика.

$k = 2$ – желаемое количество выпадений единицы.

$p$ – вероятность "успеха", то есть выпадения единицы за один бросок. У стандартного кубика 6 граней, поэтому $p = \frac{1}{6}$.

$q$ – вероятность "неудачи", то есть выпадения любой другой грани, кроме единицы. Эта вероятность равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

$C_n^k$ – это число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Рассчитывается по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Это означает, что есть 6 различных последовательностей бросков, в которых единица выпадет ровно 2 раза.

Теперь подставим все известные значения в формулу Бернулли:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = 6 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2$

Выполним вычисления:

$P_4(2) = 6 \cdot \frac{1^2}{6^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36}$

$P_4(2) = \frac{6 \cdot 1 \cdot 25}{36 \cdot 36} = \frac{150}{1296}$

Осталось сократить полученную дробь. Можно заметить, что $36 = 6 \cdot 6$, поэтому можно сократить на 6:

$\frac{150}{1296} = \frac{6 \cdot 25}{6 \cdot 6 \cdot 36} = \frac{25}{6 \cdot 36} = \frac{25}{216}$

Дробь $\frac{25}{216}$ является несократимой, так как числитель $25 = 5^2$, а знаменатель $216 = 6^3 = 2^3 \cdot 3^3$ не имеет общих делителей с числителем, кроме 1.

Ответ: $ \frac{25}{216} $