Номер 928, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

928. Докажите, что является верным неравенство:

1) $a^5 - 5 \geq 5a^4 - a$, если $a \geq 5$;

2) $b^3 + b + 2 \geq 0$, если $b \geq -1$;

3) $c^3 + c \leq 3c^2 + 3$, если $c \leq 3$.

1) Докажем неравенство $a^5 - 5 \ge 5a^4 - a$ при $a \ge 5$.
Для этого перенесем все члены неравенства в левую часть и преобразуем выражение:
$a^5 - 5a^4 + a - 5 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^5 - 5a^4) + (a - 5) \ge 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$a^4(a - 5) + 1(a - 5) \ge 0$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 5)$:
$(a - 5)(a^4 + 1) \ge 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $a \ge 5$:
Первый множитель $(a - 5)$. Так как $a \ge 5$, то $a - 5 \ge 0$ (неотрицателен).
Второй множитель $(a^4 + 1)$. Так как $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то $a^4 + 1$ всегда больше нуля (положителен).
Произведение неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство верно для всех $a \ge 5$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $b^3 + b + 2 \ge 0$ при $b \ge -1$.
Разложим левую часть неравенства на множители. Заметим, что при $b = -1$ выражение обращается в ноль: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Следовательно, $(b+1)$ является множителем многочлена $b^3 + b + 2$. Разложим многочлен на множители методом группировки:
$b^3 + b + 2 = b^3 + b^2 - b^2 - b + 2b + 2 = b^2(b+1) - b(b+1) + 2(b+1) = (b+1)(b^2 - b + 2)$
Исходное неравенство принимает вид:
$(b+1)(b^2 - b + 2) \ge 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $b \ge -1$:
Первый множитель $(b + 1)$. Так как $b \ge -1$, то $b + 1 \ge 0$ (неотрицателен).
Второй множитель $(b^2 - b + 2)$. Это квадратичный трехчлен. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $b^2$ положителен, выражение $b^2 - b + 2$ всегда положительно при любом значении $b$.
Произведение неотрицательного множителя на положительный является неотрицательным. Таким образом, неравенство верно для всех $b \ge -1$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $c^3 + c \le 3c^2 + 3$ при $c \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$c^3 - 3c^2 + c - 3 \le 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^3 - 3c^2) + (c - 3) \le 0$
$c^2(c - 3) + 1(c - 3) \le 0$
Вынесем за скобки общий множитель $(c-3)$:
$(c - 3)(c^2 + 1) \le 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $c \le 3$:
Первый множитель $(c - 3)$. Так как $c \le 3$, то $c - 3 \le 0$ (неположителен).
Второй множитель $(c^2 + 1)$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $c^2+1$ всегда больше нуля (положителен).
Произведение неположительного числа на положительное всегда неположительно (меньше или равно нулю). Следовательно, неравенство верно для всех $c \le 3$.
Ответ: Неравенство доказано.