Страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

927. Докажите неравенство:

1) $(2b - 1)(3b + 2) < (3b - 1)(2b + 1);$

2) $25m^2 + n^2 \ge 10mn;$

3) $2a^2 - 4a + 5 > 0;$

4) $x^2 + x + 1 > 0;$

5) $4y^2 - 12 \ge 12y - 21;$

6) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b);$

7) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c);$

8) $2a^2 + 5b^2 + 2ab + 1 > 0;$

9) $x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4y.$

1) Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Левая часть: $(2b - 1)(3b + 2) = 6b^2 + 4b - 3b - 2 = 6b^2 + b - 2$.

Правая часть: $(3b - 1)(2b + 1) = 6b^2 + 3b - 2b - 1 = 6b^2 + b - 1$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$6b^2 + b - 2 < 6b^2 + b - 1$

Перенесем все члены с переменной в одну сторону, а числовые значения в другую:

$6b^2 - 6b^2 + b - b < -1 + 2$

$0 < 1$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $b$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$25m^2 - 10mn + n^2 \geq 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5m$ и $b = n$.

$(5m - n)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, неравенство верно при любых значениях $m$ и $n$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$2a^2 - 4a + 5 = 2(a^2 - 2a) + 5 = 2(a^2 - 2a + 1 - 1) + 5 = 2((a - 1)^2 - 1) + 5 = 2(a - 1)^2 - 2 + 5 = 2(a - 1)^2 + 3$

Получили неравенство:

$2(a - 1)^2 + 3 > 0$

Выражение $(a - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a - 1)^2 \geq 0$.

Следовательно, $2(a - 1)^2 \geq 0$.

Прибавив 3 к неотрицательному числу, мы получим число, которое больше или равно 3: $2(a - 1)^2 + 3 \geq 3$.

Поскольку $3 > 0$, то и $2(a - 1)^2 + 3 > 0$ при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Выделим в левой части неравенства полный квадрат:

$x^2 + x + 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Получили неравенство:

$(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$

Выражение $(x + \frac{1}{2})^2$ всегда неотрицательно: $(x + \frac{1}{2})^2 \geq 0$.

Прибавив к нему положительное число $\frac{3}{4}$, получим выражение, которое всегда больше нуля: $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$.

Следовательно, неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

5) Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4y^2 - 12 - 12y + 21 \geq 0$

$4y^2 - 12y + 9 \geq 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2y$ и $b = 3$.

$(2y - 3)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

6) Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + 2 \geq 2a + 2b$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 \geq 0$

Сгруппируем слагаемые и представим 2 как $1+1$, чтобы выделить полные квадраты:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \geq 0$

Теперь свернем каждую скобку в полный квадрат:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0$

Неравенство представляет собой сумму двух квадратов. Каждый квадрат $(a - 1)^2$ и $(b - 1)^2$ является неотрицательным числом. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

7) Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2a + 2b + 2c$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 \geq 0$

Сгруппируем слагаемые и представим 3 как $1+1+1$, чтобы выделить полные квадраты для каждой переменной:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \geq 0$

Свернем каждую скобку в полный квадрат:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \geq 0$

Это сумма трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, их сумма также будет неотрицательной. Следовательно, неравенство верно при любых значениях $a$, $b$ и $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

8) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:

$2a^2 + 2ab + 5b^2 + 1 = 2(a^2 + ab) + 5b^2 + 1$

Чтобы в скобках получить полный квадрат, добавим и вычтем $(\frac{b}{2})^2$:

$2(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 + 1 = 2((a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2(a + \frac{b}{2})^2 - 2 \cdot \frac{b^2}{4} + 5b^2 + 1 = 2(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 + 1 = 2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1$

Получили неравенство:

$2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1 > 0$

Выражения $2(a + \frac{b}{2})^2$ и $\frac{9b^2}{2}$ неотрицательны, так как являются квадратами, умноженными на положительные числа. Их сумма плюс 1 всегда будет больше или равна 1: $2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1 \geq 1$.

Поскольку $1 > 0$, исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

9) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 + y^2 + 15 - 6x - 4y > 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 15 > 0$

Для выделения полного квадрата в первой скобке нужно добавить 9, а во второй — 4. Представим 15 как $9+4+2$:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) + 2 > 0$

Свернем скобки в полные квадраты:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 > 0$

Выражения $(x - 3)^2$ и $(y - 2)^2$ всегда неотрицательны. Их сумма также неотрицательна. Прибавив 2, получим: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 \geq 2$.

Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

928. Докажите, что является верным неравенство:

1) $a^5 - 5 \geq 5a^4 - a$, если $a \geq 5$;

2) $b^3 + b + 2 \geq 0$, если $b \geq -1$;

3) $c^3 + c \leq 3c^2 + 3$, если $c \leq 3$.

1) Докажем неравенство $a^5 - 5 \ge 5a^4 - a$ при $a \ge 5$.
Для этого перенесем все члены неравенства в левую часть и преобразуем выражение:
$a^5 - 5a^4 + a - 5 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^5 - 5a^4) + (a - 5) \ge 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$a^4(a - 5) + 1(a - 5) \ge 0$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 5)$:
$(a - 5)(a^4 + 1) \ge 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $a \ge 5$:
Первый множитель $(a - 5)$. Так как $a \ge 5$, то $a - 5 \ge 0$ (неотрицателен).
Второй множитель $(a^4 + 1)$. Так как $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то $a^4 + 1$ всегда больше нуля (положителен).
Произведение неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство верно для всех $a \ge 5$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $b^3 + b + 2 \ge 0$ при $b \ge -1$.
Разложим левую часть неравенства на множители. Заметим, что при $b = -1$ выражение обращается в ноль: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Следовательно, $(b+1)$ является множителем многочлена $b^3 + b + 2$. Разложим многочлен на множители методом группировки:
$b^3 + b + 2 = b^3 + b^2 - b^2 - b + 2b + 2 = b^2(b+1) - b(b+1) + 2(b+1) = (b+1)(b^2 - b + 2)$
Исходное неравенство принимает вид:
$(b+1)(b^2 - b + 2) \ge 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $b \ge -1$:
Первый множитель $(b + 1)$. Так как $b \ge -1$, то $b + 1 \ge 0$ (неотрицателен).
Второй множитель $(b^2 - b + 2)$. Это квадратичный трехчлен. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $b^2$ положителен, выражение $b^2 - b + 2$ всегда положительно при любом значении $b$.
Произведение неотрицательного множителя на положительный является неотрицательным. Таким образом, неравенство верно для всех $b \ge -1$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $c^3 + c \le 3c^2 + 3$ при $c \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$c^3 - 3c^2 + c - 3 \le 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^3 - 3c^2) + (c - 3) \le 0$
$c^2(c - 3) + 1(c - 3) \le 0$
Вынесем за скобки общий множитель $(c-3)$:
$(c - 3)(c^2 + 1) \le 0$
Рассмотрим знаки множителей при условии $c \le 3$:
Первый множитель $(c - 3)$. Так как $c \le 3$, то $c - 3 \le 0$ (неположителен).
Второй множитель $(c^2 + 1)$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $c^2+1$ всегда больше нуля (положителен).
Произведение неположительного числа на положительное всегда неположительно (меньше или равно нулю). Следовательно, неравенство верно для всех $c \le 3$.
Ответ: Неравенство доказано.

929. Известно, что $a > 3$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $2a - 6$;

2) $15 - 5a$;

3) $2a - 4$;

4) $(a - 3)(2 - a)$;

5) $\frac{a - 2}{a - 1}$;

6) $\frac{-4}{3 - a}$.

1) $2a - 6$;
Используем свойство неравенств. Начнем с данного нам условия $a > 3$.
1. Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства сохраняется:
$2 \cdot a > 2 \cdot 3$
$2a > 6$
2. Вычтем 6 из обеих частей неравенства:
$2a - 6 > 6 - 6$
$2a - 6 > 0$
Следовательно, значение выражения больше нуля.
Ответ: $2a - 6 > 0$.

2) $15 - 5a$;
Исходим из условия $a > 3$.
1. Умножим обе части неравенства на -5. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-5 \cdot a < -5 \cdot 3$
$-5a < -15$
2. Прибавим 15 к обеим частям неравенства:
$15 - 5a < 15 - 15$
$15 - 5a < 0$
Следовательно, значение выражения меньше нуля.
Ответ: $15 - 5a < 0$.

3) $2a - 4$;
Исходим из условия $a > 3$.
1. Умножим обе части на 2:
$2a > 6$
2. Вычтем 4 из обеих частей:
$2a - 4 > 6 - 4$
$2a - 4 > 2$
Поскольку $2 > 0$, то и выражение $2a - 4$ больше нуля.
Ответ: $2a - 4 > 0$.

4) $(a - 3)(2 - a)$;
Чтобы определить знак произведения, определим знак каждого множителя.
1. Первый множитель: $(a - 3)$. Из условия $a > 3$ следует, что разность $a - 3$ будет положительной: $a - 3 > 0$.
2. Второй множитель: $(2 - a)$. Из условия $a > 3$ следует, что $-a < -3$. Прибавив 2 к обеим частям, получим: $2 - a < 2 - 3$, то есть $2 - a < -1$. Следовательно, множитель $(2 - a)$ отрицателен.
3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
Следовательно, $(a - 3)(2 - a) < 0$.
Ответ: $(a - 3)(2 - a) < 0$.

5) $\frac{a - 2}{a - 1}$;
Чтобы определить знак дроби, определим знаки числителя и знаменателя.
1. Числитель: $(a - 2)$. Поскольку $a > 3$, то $a$ заведомо больше 2. Значит, $a - 2 > 0$. Числитель положителен.
2. Знаменатель: $(a - 1)$. Поскольку $a > 3$, то $a$ заведомо больше 1. Значит, $a - 1 > 0$. Знаменатель положителен.
3. Частное двух положительных чисел есть число положительное.
Следовательно, $\frac{a - 2}{a - 1} > 0$.
Ответ: $\frac{a - 2}{a - 1} > 0$.

6) $\frac{-4}{3 - a}$;
Определим знаки числителя и знаменателя.
1. Числитель: $-4$. Он отрицателен.
2. Знаменатель: $(3 - a)$. Из условия $a > 3$ следует, что $3 - a$ является отрицательным числом ($3 - a < 0$).
3. Частное двух отрицательных чисел (числителя и знаменателя) есть число положительное.
Следовательно, $\frac{-4}{3 - a} > 0$.
Ответ: $\frac{-4}{3 - a} > 0$.

930. Известно, что $b < 2$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $4b - 8;$

2) $(b - 2)^2(b - 3);$

3) $\frac{b - 3}{(2 - b)(b - 4)}.$

1) Чтобы сравнить выражение $4b - 8$ с нулём, воспользуемся свойством неравенств. Исходя из условия $b < 2$, выполним следующие преобразования:
Умножим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится.
$4 \cdot b < 4 \cdot 2$
$4b < 8$
Теперь вычтем из обеих частей неравенства число 8.
$4b - 8 < 8 - 8$
$4b - 8 < 0$
Таким образом, значение выражения меньше нуля.
Ответ: $4b - 8 < 0$.

2) Для сравнения выражения $(b - 2)^2(b - 3)$ с нулём, определим знак каждого из множителей при условии $b < 2$.
Рассмотрим первый множитель $(b - 2)^2$. Поскольку $b < 2$, то $b \neq 2$, а значит $b - 2 \neq 0$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Следовательно, $(b - 2)^2 > 0$.
Рассмотрим второй множитель $(b - 3)$. Так как $b < 2$, то $b$ тем более меньше 3. Если из обеих частей неравенства $b < 2$ вычесть 3, получим:
$b - 3 < 2 - 3$
$b - 3 < -1$
Это означает, что множитель $(b - 3)$ отрицателен.
Произведение положительного числа $(b - 2)^2$ и отрицательного числа $(b - 3)$ является отрицательным числом.
Ответ: $(b - 2)^2(b - 3) < 0$.

3) Чтобы сравнить с нулём значение дроби $\frac{b-3}{(2-b)(b-4)}$, определим знак числителя и знаменателя.
Знак числителя $(b - 3)$: как было показано в предыдущем пункте, при $b < 2$ выражение $b-3$ является отрицательным.
Знак знаменателя $(2-b)(b-4)$: определим знак каждого сомножителя в знаменателе.
- Для множителя $(2-b)$: из условия $b < 2$ следует, что $2 - b > 0$, то есть этот множитель положителен.
- Для множителя $(b - 4)$: так как $b < 2$, то $b$ тем более меньше 4. Вычтем 4 из обеих частей неравенства $b < 2$:
$b - 4 < 2 - 4$
$b - 4 < -2$
Этот множитель отрицателен.
Знаменатель является произведением положительного числа $(2-b)$ и отрицательного числа $(b-4)$, следовательно, знаменатель отрицателен.
Вся дробь является частным от деления отрицательного числителя на отрицательный знаменатель. Результат деления двух отрицательных чисел — число положительное.
Ответ: $\frac{b-3}{(2-b)(b-4)} > 0$.

931. Докажите, что если $a > b > 1$, то $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$.

Для доказательства неравенства $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$ перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:

$a^2b + b^2 + a - ab^2 - a^2 - b > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Сгруппируем члены, содержащие $ab$, члены, содержащие квадраты, и оставшиеся линейные члены:

$(a^2b - ab^2) - (a^2 - b^2) + (a - b) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $ab$, вторую скобку разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ab(a - b) - (a - b)(a + b) + (a - b) > 0$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(ab - (a + b) + 1) > 0$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(a - b)(ab - a - b + 1) > 0$

Выражение во второй скобке также можно разложить на множители путем группировки:

$ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$

Подставим это разложение обратно в наше неравенство:

$(a - b)(a - 1)(b - 1) > 0$

Теперь проанализируем знаки каждого из множителей в левой части, используя условие $a > b > 1$:

1. Так как $a > b$, то разность $(a - b)$ является положительным числом, то есть $(a - b) > 0$.

2. Так как $a > 1$, то разность $(a - 1)$ является положительным числом, то есть $(a - 1) > 0$.

3. Так как $b > 1$, то разность $(b - 1)$ является положительным числом, то есть $(b - 1) > 0$.

В левой части неравенства мы имеем произведение трех положительных чисел. Произведение положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, неравенство $(a - b)(a - 1)(b - 1) > 0$ верно при заданных условиях.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$ также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

932. Докажите, что если $a < b < 2$, то $a^2b + 2b^2 + 4a < ab^2 + 2a^2 + 4b$.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону. Перенесем все члены из левой части в правую:

$0 < ab^2 + 2a^2 + 4b - a^2b - 2b^2 - 4a$

Сгруппируем слагаемые в правой части, чтобы выявить общие множители:

$(ab^2 - a^2b) - (2b^2 - 2a^2) + (4b - 4a) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ab(b - a) - 2(b^2 - a^2) + 4(b - a) > 0$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ ко второму слагаемому:

$ab(b - a) - 2(b - a)(b + a) + 4(b - a) > 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(b - a)$ за скобки:

$(b - a)(ab - 2(a + b) + 4) > 0$

Упростим выражение во второй скобке и разложим его на множители:

$(b - a)(ab - 2a - 2b + 4) > 0$

$(b - a)(a(b - 2) - 2(b - 2)) > 0$

$(b - a)(a - 2)(b - 2) > 0$

Теперь рассмотрим знаки каждого из трех множителей, исходя из условия задачи $a < b < 2$.

1. Множитель $(b - a)$: поскольку по условию $a < b$, разность $b - a$ всегда будет положительной, то есть $b - a > 0$.

2. Множитель $(a - 2)$: поскольку по условию $a < 2$, разность $a - 2$ всегда будет отрицательной, то есть $a - 2 < 0$.

3. Множитель $(b - 2)$: поскольку по условию $b < 2$, разность $b - 2$ всегда будет отрицательной, то есть $b - 2 < 0$.

Теперь определим знак всего произведения:

$(b - a)(a - 2)(b - 2) \rightarrow (+) \cdot (-) \cdot (-) \rightarrow (+)$

Произведение положительного числа на два отрицательных числа является положительным числом. Следовательно, неравенство $(b - a)(a - 2)(b - 2) > 0$ истинно.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2b + 2b^2 + 4a < ab^2 + 2a^2 + 4b$ также является истинным при заданных условиях.

Ответ: Неравенство доказано.

933. Сравните с нулём число a, если:

1) $6a < 5a$;

2) $-2a < 2a$;

3) $9a > 4a$;

4) $-37a > -3a$.

1) Дано неравенство $6a < 5a$. Для того чтобы найти знак числа $a$, решим это неравенство. Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в одну сторону:

$6a - 5a < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a < 0$

Следовательно, число $a$ меньше нуля.

Ответ: $a < 0$.

2) Дано неравенство $-2a < 2a$. Перенесем слагаемое $-2a$ из левой части в правую, изменив его знак:

$0 < 2a + 2a$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0 < 4a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{0}{4} < \frac{4a}{4}$

$0 < a$, или $a > 0$

Следовательно, число $a$ больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

3) Дано неравенство $9a > 4a$. Перенесем слагаемое $4a$ из правой части в левую, изменив его знак:

$9a - 4a > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5a > 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 5. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{5a}{5} > \frac{0}{5}$

$a > 0$

Следовательно, число $a$ больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

4) Дано неравенство $-37a > -3a$. Перенесем слагаемое $-37a$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$0 > -3a + 37a$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0 > 34a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 34. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{0}{34} > \frac{34a}{34}$

$0 > a$, или $a < 0$

Следовательно, число $a$ меньше нуля.

Ответ: $a < 0$.

934. Докажите, что если $a > 7$ и $b > 3$, то:

1) $4a + b > 31$;

2) $10a + 3b > 75$.

1)

По условию задачи даны два неравенства: $a > 7$ и $b > 3$. Необходимо доказать, что $4a + b > 31$.

Для доказательства воспользуемся свойствами числовых неравенств. Умножим обе части первого неравенства $a > 7$ на положительное число 4. Согласно свойству, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака.

$4 \cdot a > 4 \cdot 7$

$4a > 28$

Теперь у нас есть два верных неравенства: $4a > 28$ и исходное $b > 3$.

Согласно другому свойству, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. Сложим левые и правые части неравенств $4a > 28$ и $b > 3$:

$4a + b > 28 + 3$

$4a + b > 31$

Таким образом, мы доказали, что если $a > 7$ и $b > 3$, то $4a + b > 31$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Используя те же начальные условия, $a > 7$ и $b > 3$, докажем, что $10a + 3b > 75$.

Аналогично первому пункту, преобразуем исходные неравенства. Умножим обе части неравенства $a > 7$ на положительное число 10:

$10 \cdot a > 10 \cdot 7$

$10a > 70$

Далее, умножим обе части неравенства $b > 3$ на положительное число 3:

$3 \cdot b > 3 \cdot 3$

$3b > 9$

Теперь у нас есть два новых верных неравенства: $10a > 70$ и $3b > 9$. Сложим их почленно:

$10a + 3b > 70 + 9$

$10a + 3b > 79$

Мы доказали, что значение выражения $10a + 3b$ строго больше 79. Нам же нужно было доказать, что оно больше 75. Поскольку $79 > 75$, то из того, что $10a + 3b > 79$, по свойству транзитивности неравенств следует, что $10a + 3b > 75$.

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

935. Докажите, что если $a > 5$ и $b < -2$, то:

1) $3a - b > 17$;

2) $5b - 2a < -10$.

1)Дано: $a > 5$ и $b < -2$.
Требуется доказать: $3a - b > 17$.

Для доказательства выполним следующие преобразования с исходными неравенствами:
1. Умножим обе части неравенства $a > 5$ на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a \cdot 3 > 5 \cdot 3$
$3a > 15$
2. Умножим обе части неравенства $b < -2$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$b \cdot (-1) > -2 \cdot (-1)$
$-b > 2$
3. Теперь сложим полученные неравенства $3a > 15$ и $-b > 2$. Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ($>$), мы можем их почленно сложить:
$3a + (-b) > 15 + 2$
$3a - b > 17$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2)Дано: $a > 5$ и $b < -2$.
Требуется доказать: $5b - 2a < -10$.

Выполним преобразования с исходными неравенствами:
1. Умножим обе части неравенства $b < -2$ на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$b \cdot 5 < -2 \cdot 5$
$5b < -10$
2. Умножим обе части неравенства $a > 5$ на -2. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \cdot (-2) < 5 \cdot (-2)$
$-2a < -10$
3. Теперь сложим полученные неравенства $5b < -10$ и $-2a < -10$. Так как оба неравенства имеют одинаковый знак (<), мы можем их почленно сложить:
$5b + (-2a) < -10 + (-10)$
$5b - 2a < -20$
Поскольку $-20$ меньше, чем $-10$ (т.е. $-20 < -10$), то из того, что $5b - 2a < -20$, следует, что $5b - 2a$ тем более меньше, чем $-10$. Таким образом, неравенство $5b - 2a < -10$ является верным.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

936. Сравните, если возможно:

1) $4a + b$ и 12, если $a > 2$ и $b > 5$;

2) $b - 2a$ и 0, если $a > 4$ и $b < 6$;

3) $b - 3a$ и 1, если $a < 6$ и $b < 0$;

4) $a - 5b$ и 1, если $a < 12$ и $b > 2$.

1) Сравнить $4a + b$ и $12$, если $a > 2$ и $b > 5$.

Для решения воспользуемся свойствами числовых неравенств.
Из условия $a > 2$ следует, что если умножить обе части неравенства на положительное число 4, знак неравенства сохранится:
$4 \cdot a > 4 \cdot 2$
$4a > 8$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $4a > 8$ и $b > 5$.
Сложим эти неравенства почленно:
$4a + b > 8 + 5$
$4a + b > 13$

Так как $13 > 12$, то из того, что значение выражения $4a + b$ больше 13, следует, что оно также больше 12.
Следовательно, $4a + b > 12$.

Ответ: $4a + b > 12$.

2) Сравнить $b - 2a$ и $0$, если $a > 4$ и $b < 6$.

Нам нужно оценить выражение $b - 2a$, которое можно представить как сумму $b + (-2a)$.
Из условия $a > 4$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -2, знак неравенства изменится на противоположный:
$-2 \cdot a < -2 \cdot 4$
$-2a < -8$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $b < 6$ и $-2a < -8$.
Сложим эти неравенства почленно:
$b + (-2a) < 6 + (-8)$
$b - 2a < -2$

Так как $-2 < 0$, то из того, что значение выражения $b - 2a$ меньше -2, следует, что оно также меньше 0.
Следовательно, $b - 2a < 0$.

Ответ: $b - 2a < 0$.

3) Сравнить $b - 3a$ и $1$, если $a < 6$ и $b < 0$.

Из условия $a < 6$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -3, знак неравенства изменится на противоположный:
$-3 \cdot a > -3 \cdot 6$
$-3a > -18$

У нас есть два неравенства: $b < 0$ и $-3a > -18$. Так как знаки неравенств разные, мы не можем их сложить для получения однозначной оценки. Проверим, можно ли сделать сравнение, на конкретных примерах, удовлетворяющих условиям.

Пример 1:
Пусть $a = 5$ (условие $a<6$ выполняется) и $b = -1$ (условие $b<0$ выполняется).
Тогда $b - 3a = -1 - 3 \cdot 5 = -1 - 15 = -16$.
В этом случае $-16 < 1$, то есть $b - 3a < 1$.

Пример 2:
Пусть $a = -10$ (условие $a<6$ выполняется) и $b = -1$ (условие $b<0$ выполняется).
Тогда $b - 3a = -1 - 3 \cdot (-10) = -1 + 30 = 29$.
В этом случае $29 > 1$, то есть $b - 3a > 1$.

Поскольку в зависимости от выбора конкретных значений $a$ и $b$ результат сравнения может быть разным, сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

4) Сравнить $a - 5b$ и $1$, если $a < 12$ и $b > 2$.

Оценим выражение $a - 5b$, которое можно представить как сумму $a + (-5b)$.
Из условия $b > 2$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -5, знак неравенства изменится на противоположный:
$-5 \cdot b < -5 \cdot 2$
$-5b < -10$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $a < 12$ и $-5b < -10$.
Сложим эти неравенства почленно:
$a + (-5b) < 12 + (-10)$
$a - 5b < 2$

Полученное неравенство $a - 5b < 2$ не позволяет однозначно сравнить выражение с числом 1, так как значение выражения может быть как больше 1, так и меньше или равно 1. Приведем примеры.

Пример 1:
Пусть $a = 10$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 3$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 10 - 5 \cdot 3 = 10 - 15 = -5$.
В этом случае $-5 < 1$, то есть $a - 5b < 1$.

Пример 2:
Пусть $a = 11$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 2.1$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 11 - 5 \cdot 2.1 = 11 - 10.5 = 0.5$.
В этом случае $0.5 < 1$, то есть $a - 5b < 1$.

Пример 3:
Пусть $a = 11.9$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 2.1$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 11.9 - 5 \cdot 2.1 = 11.9 - 10.5 = 1.4$.
В этом случае $1.4 > 1$, то есть $a - 5b > 1$.

Поскольку результат сравнения зависит от выбора конкретных значений $a$ и $b$, сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.